Band 5, Heft I ,. »^ r^ ,*,,,. %tr i Februar 192") Laucli, Der Ueberfall über em Wehr __о

dürfte es sich daher empfehlen, den gedanklichen Inhalt des Helmholtz-Kirch ho ff sehen Verfahrene kurz darzulegen.

Die Gleichung (2) besagt, daß man das Geschwindigkeitspotential P als reellen Teil einer analytischen Funktion W{z)=^ P-\--iQ deuten kann. Die zugeordnete Funktion Q, die »Stromfunktion«, ist dadurch gekennzeichnet, daß ihre Ableitung nach einer Richtung die hierzu senkrechte Geschwindigkeitskomponente liefert Hiernach läß^ sich Q so deuten: Die Linien Q = konst. sind Stromlinien, und der unterschied der Q-Werte auf zwei solchen Linien mißt die in der Zeiteinheit zwischen ihnen durchfließende Wasser-

menge . Wegen (4) ist für die gesamte Begrenzung ^— = ^ч == 0, d. h. Q = konst., d. h.

die Randlinien müssen Stromlinien sein.

Wenn wir vorübergehend — h ^= y setzen, so können wir die sc, ^-Ebene der Abb. 3 a als Ebene der komplexen Zahl z ^ x -\-iy deuten, und das Srrahlbild der 2:-Ebene wird eine konforme Abbildung eines zwischen zwei Parallelen Q = konst. liegenden Streifens der PT-Ebene. Vermittelt wird die Abbildung durch eine Funktion W{z)^ deren reeller Teil die gesuchte Funktion P{x,y) ist Damit ist die Lösung der Gleichung JP = о auf eine konforme Abbildung zurückgeführt. Die Schwierigkeit liegt nun darin, daß der gestrichelte Teil der Begrenzung in Fig. 3 a nicht bekannt ist.

z - fàene I I W'Ebene

=^=dâ^

\ I /

\R / i¥¥4 Z3\

- ^^P

Abb . 3 a. Abb. 3 b.

Die Lösung glückt nun beim Ausflaßstrahl auf folgende Weise: Differenziert man

W nach 2Г, so ist die Ableitung С == — wieder eine Funktion von z bezw. von W* in-

dz '

folgedessen ist auch die Ebene der Zahl С auf diejenigen von z bezw. W konform bildbar. Das Bild in der C-Ebene ist aber nichts anderes als der sogenannte Geschwindigkeitsplan, den man erhält, wenn man vom Anfangspunkt der ^ Ebene aus für jeden in Frage kommenden Punkt der Ä-Ebene die Geschwindigkeit nach Richtung und Größe (gespiegelt an der as-Achse) aufzeichnet. Nun ist längs der geradlinigen festen Grenzen die digkeit wohl der Richtung, aber nicht der Größe nach he- _ kannt; für die freie Grenze ist infolge der Randbedingung В t; = 1 gerade die Größe, dafür aber nicht die Richtung gegeben. Abb. 4.

Man sieht leicht, daß man demnach die Begrenzung des Bildes in

der f-Ebene vollständig angeben kann: Es ist der Halbkreis der Abb. 4. Die Abbildung dieses Halbkreises auf den Streifen der PF-Ebene ist nun exakt durchführbar, d. h. man

kann die abbildende Funktion С (PF) angeben. Da С = ^ ist, so liefert die Integration

schließlich die Punktion W (z). Ihr reeller Teil P (ж, у) wäre dann die geforderte Lösung der Differentialgleichung ^P= 0. Meist bestimmt man aber statt W(z) die funktion z(W), Sie lautet 0'

^ (PF) r= 1 — e-^ —ye="2¥Z-1 ^ arc tg Ve^^^^^^^l .... (7).

Trennung von reell und imaginär liefert zwei Gleichungen für x und y. Damit ist das Kirchhoff sehe Ausflußproblem vollständig gelöst.

1 ) Vergl. z. B. G. Holzmüller: Ingenieur-Mathematik, II. Teil (Leipzig 1898), S. 287.