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» к

Supposons maintenant que X = S X. P soit un entier p-adique (non néces

k=0 ^ sairement rationnel) .

Fort de la congruence précédente, on définit le coefficient binomiale dans IF

q

( Remarque : un entier p-adique rationnel peut être rationnel non entier ! Par

« к exemple, dans Ж , -t= S 4 .)

" ^ k=0

On peut alors définir la fonction puissance dans IF ((X)) pour des exposants

q

entiers p-adiques :

( i + x ) ^ = ? ( s x^

n=0 ^ et plus généralement, si

k=l ^ on aura

/ • = S (^) (f-lf

n=0 ^

. - ♦ f^ est

On vérifie sans peine que l'application X i—► i est continue pour les logies habituelles sur Ж et sur W ((X)) et que

( f g)^ = f^ g^

Notre premier résultat est à comparer avec le célèbre théorème de Gelfond- Schneider sur la transcendance de a'^^^ , quoique dans notre contexte, beaucoup moins profond.

THÉORÈME l.-Sif=l+S tA,f-/0 est algébrique et si X. est un ~ k=l к Д 1

entier p-adique irrationnel, alors f^ est transcendant.

Il est bien entendu que si X est un entier p-adique rationnel, disons a/b , (p , b) = 1 , alors f^ est algébrique,

La démonstration du théorème s'appuie sur une remarque extrêmement simple de la théorie des automates. Nous en rappelons au paragraphe suivant les propriétés essentielles.