§39

Die erste Krümmung.

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Kurve С. Die erste Ableitung von ^ nach $ ergibt für den Punkt P die Krümmung der Kurve:

" ~ ds '

Benützt man für den Winkel ^ die Formel (38) oder (39) (§ 20),

ds

so erhält man wegen — = jP und p' = |" direkt die Formeln

дЧр , д ) ^ф ( С^^ - Г )

Man kann auch die Kurve С mit einem Kurvenfeld umgeben und hat dann in jedem Punkt der Tangente zwei Richtungen p, q, welche einen Winkel ^ einschließen. Die Ableitung dieses Winkels nach der Bogenlänge der Tangente liefert ebenfalls die Krümmung der Kurve C.

Aus (64) folgt:

Der reziproke Wert der Krümmung к ist gleich dem in § 28 definierten Berührungsmaß erster Ordnung zuÂschen der Kurve und ihrer Tangente.

Die erste Krümmung der Extremalen verschwindet identisch; umgekehrt sind dies auch die einzigen Kurven mit dieser Eigenschaft.

Denn wenn /k = 0, also Ф(С" —Ç") = 0 ist, so ist nach § 21 C" ™ f ", die Kurve С berührt also ihre Tangente Ç in mindestens zweiter Ordnung. Gilt dies für jeden Punkt der Kurve C, so genügt sie der Lagrangeschen Differentialgleichung zweiter Ordnung, sie ist dann also selbst eine Extremale.

Der Parameter т = т (x) war bisher eine beliebige Funktion der Koordinaten x. Wählt man speziell die n^^ Koordinate x^ als meter, so wird C; = ^; = 0. Die Formel (64) lautet dann

sie behält also ihre Form, nur ist n durch n — 1 ersetzt. Man kann dies auch so ausdrücken: Die Formel

^' = iif!,ic--§:)ic}-j'j)F,-,'