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FRANZ PITTNAUER UND NORBERT RUNGE

AEQ MATH

mindestens eine asymptotische erzeugende Funktion, welche die Voraussetzungen von Satz 4 erfüllt

Gleichung (7) stellt in allen Punkten (x, 0 e U^ mit / = 0 oder y{x) + te(x) = 0 eine parabolische und in allen übrigen Punkten eine hyperbolische partielle Differentialgleichung dar Fur y = e = 0 reduziert sie sich auf eine quasilineare Differentialgleichung

Die erzeugende Funktion der HERMiTE-Polynome ergibt sich gemäß Satz 4 leicht aus einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung Freilich ist in diesem Falle über die Rekursionsformel (6) hinaus noch zusatzhch die Kenntnis der Funktionswerte H„{xq) in einem Punkt notwendig

Auf partielle Differentialgleichungen erster Ordnung fuhrt die Bestimmung der erzeugenden Funktionen der Legendre- und AppEL-Polynome sowie der Struve- Funktionen Im Fall der AppEL-Polynome und der SxRUVE-Funktionen ist wiederum die Kenntnis der Funktionswerte in einem Punkt zur eindeutigen Festlegung der Funktionen erforderlich

4 . Einige Spezialfälle

Bei vielen bekannten speziellen Funktionen vereinfacht sich Rekursionsformel (6) und damit auch (7) wesenthch Im Falle der einfacheren Rekursionsformel

la ( x ) -b па(хШ„(х) = lb(x) -f nßix)2fn-,M + Ld(x) + «^(x)]/„_2(x) (12)

folgt unmittelbar

KoROLLAR 5 Es sei G I X S^\-^ с stetig differenzier bar in I und holomorph in S„ Besitzen dann G(x, t) und G^ix, t) asymptotische Potenzreihen fur r —> 0 ts S„ gleichmäßig in jedem kompakten Teilintervall von I und erfüllt G die Bedingung

r [ a ( x ) - tß{x) - t4{x)]Gix, t) + {a{x) - tib{x) + ß{xy] - t\d{x) + 2ô{x)-])G{x, t) - {a{x) - tlb{x) + Ж^)])/о(х) - tia{x) - а(х)]Л(х) ^ 0 (13)

fur t—>0,teS„ gleichmäßig in jedem kompakten Teilintervall von I, sowie (8) und (9), so ist G(x, t) eine asymptotische erzeugende Funktion der durch (12) definierten Folge

Gleichung (13) laßt sich mittels Partialbruchzerlegung und nach Vorgabe einer beliebigen Nullfunktion der Gestalt (3) explizit losen Dabei wird man auf die AppELL-sche hypergeometrische Funktion zweier Variabler F^ gefuhrt (vgl [3], S 287 Formel 3 211 und S 1053 Formel 9 180 (1))