/ c - affinoide Gruppen 151

Untergruppe bezeichnen. Auch für die й-affin-algebraische Gruppe G gilt bekanntlich Satz 4.6. Die entsprechende irreduzible abgeschlossene Untergruppe bezeichnen wir mit (G)o.

Satz 4.7. Es sei G = (Sp Ä, Ä, y) eine k-affinoide Gruppe, к sei algebraisch abgeschlossen. G^ ist dann abgeschlossene k-affin-algebraische Untergruppe von G, es gilt Go = (G)o ^^d [G:Go] = [G:Go].

Beweis . Pi,..., p„ seien die minimalen Primideale von A. Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daß Ä reduziert ist. Dann folgt mit Satz 4.6

n

A^@Ä / Pi , A/Pi^Ä/pj, ij=l...,n,

i=l

und daher auch

n ^^^^ ^„^^^ ^.^^^^

л^ e A/Pi, A/Pi^A/pj, ij= !,...,«.

i=l

Sei pi das zu Gq gehörige Primideal. Es ist klar, daß Gq abgeschlossene ^-affin-algebraische Untergruppe von G ist. Zum Beweis des Satzes bleibt

nur noch zu zeigen, daß Gq irreduzibel bzw. A/pi nullteilerfrei ist. A/pi ist nullteilerfrei. Hieraus folgt nach [6], Satz 3.4, daß A/p^ hängend ist, d.h. A/p[ ist nicht darstellbar als direkte Summe zweier von Null verschiedener Ideale. Da aber die Komponenten von Go paarweise disjunkt sind, folgt hieraus bereits die Irreduzibilität von Gq, q.e.d.

§ 5. Lokale Eigenschaften k-affinoider Gruppen

Zu jeder fe-affinoiden Gruppe G-(Sp^,A,y) gibt es homomorphismen L, R von der Gruppe G*" der rationalen Punkte von G in die Gruppe Aut A der fe-Algebraautomorphismen von Л, wenn man definiert ^^, G'-^ША

L { g ) : = L,, K(g):=K„ g€G' mit

Lf А-^^А®^Л ^*^'''yA®kA-^A/m^®f,A = A,

Kgi A-^A®kA-^A®k^/mg = A,

i bezeichne die Inversenbildung in G. Die Gruppe G*" operiert also vermöge L bzw. R (Links- bzw. Rechtstranslation) auf A. Es gilt

«L , ( gO = 7(i(g)xg'),

^i^g ( gO = y(g'xg), g^G% g'EG.