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E . Behrends und G. Wittstock:

kommutiert . Aus der Konstruktion des Tensorproduktes folgt, daß mit /,g auch/0^ g surjektiv ist.

Da die identische Abbildung idf^^j^: KxL-^KxL stetig und biaffin ist, gibt es genau eine stetige affine Abbildung p: K0^L->KxL mit P^co^^idj^^L' Also ist co„ injektiv und p surjektiv.

1 . 1 . 3 . Satz. Es seien K, L kompakte konvexe Mengen, œ^ bildet die extremalen Punkte ex(X x L)=ex К x exL bijektiv auf ex (K 0^L) ab.

Beweis . Es gilt K0^L = œ{œ^{Kx L)). Nach dem Satz von Krein- Milman (vgl. Phelps [7], S. 9) gilt also QxiK®^L)czœ,{KxL). Da со, biaffin und injektiv ist, folgt aus co,{k, /)бех(Х (g^L), daß (fe, /) extremal in X X L ist.

Es sei (fe, l)eex(K x L). Da p surjektiv ist, ist p-\k, l) eine sene Seite von K®,L. Es gibt also ein tGex(p-^(/c,/))ciex(X(8)^L)c: œ,{KxL). Da P^(o, = '\à^^^ ist, folgt t = œ,{kj). Also ist wJkJ)E ex(X®„L).

Für eine kompakte Menge X ist die Menge ^X der lichkeitsmaße auf Z konvex und in der schwachen Topologie a <^Z, ^X> kompakt. Die Zuordnung ö^: X-^^X der Punktmaße ist ein Homöo- morphismus mit folgender universeller Eigenschaft: Zu jeder stetigen Abbildung (jp: X-^K'm eine kompakte konvexe Menge К gibt es genau eine stetige affine Abbildung q>: в^Х-^К mii (podj^ = (p. Für ^ePX gilt ф{^л)= ^(pdfi. Durch die Zuordnung (р\-^ф kann man ^X mit

X

si^X identifizieren.

Durch die Bildung von Produktmaßen erhält man eine biaffine Abbildung co„: ^X X 0^Y-^0>{X x Y). Für ç)g^Z, i/^e^7definieren wir (p®y\fe^{XxY) durch ^®i/r: {x,y)\-^(p(x)'y\f{y\ {x,y)EXxY. Nach dem Satz von Stone-Weierstraß liegt die lineare Hülle aller q>®\\f m ^{XxY) dicht. Aus der Beziehung {(р®фТосо, = ф0{1/ folgt, daß со, stetig ist.

1 . 1 . 4 . Satz. Es seien X, Y kompakte Mengen. Dann ist {^{X x У), со,) projektives Tensorprodukt von ^X und ^Y

Beweis . Es sei cp: â^X xä^Y-^ К biaffin und stetig. Zu der Abbildung (po{ôxX ôy)gibt es genau eine stetige affine Abbildung ф:а^{Х xY)-^K mit фо5ххУ = Ф°(<5хХ^у). Aus (jo,o{o^xôy) = ôx^y folgt фоса,о {Sx xôy) = (po {ô^ X öy). Die beiden stetigen biaffinen Abbildungen фо), und cp stimmen auf S^iX) x ôy{Y) = ex0^X x ex^Y überein. Auf Grund des Satzes von Krein-Milman sind sie gleich. Analog folgt die tigkeit von ф.

1 . 2 . Injektives und Projektives Tensorprodukt archimedisch neter linearer Räume. Uns interessiert, inwiefern man ^{K,L) als sorraum von s/K und s/L auffassen kann.