Einfach elliptische Singularitäten

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Ware d — ac^O, so konnte man G fur ГфО in die Normalform von D^ bringen Seid = ac Nach Einfuhren neuer Koordinaten

X = X — c{x — y)^ /2{a — bf, у = у -\- c{x — y)^- /(а — bf

hat die Funktion die Gestalt

G = x ^у -i-ä{x — y)'^у -{-b{x — y)'^x +c(x —y)^,

wobei ä b,c meromorphe Funktionen von t sind Ist афО, so miert man G fur ^ФО m die Normalform von D^ Sei also ä = 0 Ist c = 0, so transformiert man G m die Normalform D-j Sei also ä = c = 0 Dann muß ЬфО gelten, denn sonst hatte G = x^y fur ГфО keine isolierte Singularität Nun kann man G m die Normalform von Dg mieren q e d

5 . 7 , Die Familie G definiert fur t^O in {x y, z) = (0,0,0) eine isolierte Singularität vom Typ Dg, dabei ist

G { x , y , z , t ) = y{y-x^){y-Àx^)-z^ + txy^

5 . 8 Satz. In einer lokalen Deformation von E^{j) treten Singularitäten vom Typ A^ nicht auf In einer lokalen Deformation von Ëj{j) bzw Èg{j) treten Singularitäten vom Typ Äg bzw Ag nicht auf

Beweis Angenommen, der Satz ware falsch Dann kann man einen Kurvenkeim wie in 5 2 finden, so daß die Singularitäten von G(x, t) für

^ФО in (x, y, z) = (0 0,0) vom Typ A^ bzw A^ bzw Ag sind

i ) Der Fall Eg Da Co rang (G(x,/:)) = ! fur ^фО ist dürfen wir nehmen daß G (x, t) die Gestalt

{ a { t ) x-\-h{t)y-\-c{t) zf -h{d{t) x-i-e{t)y-\~f{t) zf -\-G^{x, y, z,t)

mit a{t) e{t) — b{t)d{t)^0 hat Nach Einfuhren neuei Koordinaten

X =a{t)x-\-b{t)y + c{t)z, y = d{t){x)~^ e{t) y -^ f{t) z, z =z

fur 0< |f I <^ 1, erhalt G die Gestah

G =x^-fy^+gz3 + P(x,y)z2H-ß(x y)z-hi^(x,y),

wobei g P,Q,R homogene Polynomen in x,y von Grad 0 1,2,3 mit meromorphen Funktionen m t, |f|<^l als Koeffizienten Ist g = 0, so transformiert man G m die Normalform von A2 Sei also

G =x^ + / + (a(OxH-S(Oy)z^ + ß(x,y)z + K(x,y)

Der Fall й^ + РфО Nach Einfuhren neuer Koordinaten

X =l/i/ä^--\-P (äx + by), у =l/]/ä^-{-P {-hx-^ay), z =z