Inventiones math 58,101-106(1980) ХЛ^С/СЛДД/^С/^/^О

mathemattcae

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Dualité dans les revêtements galoisiens

Jean Barge

Université Pans XI, Bâtiment mathématique, F-91405 Orsay Cedex, France

Dans son article «Infinite cyclic coverings», J. Milnor démontre le théorème suivant [1].

Soit V-^ V un revêtement infini cyclique d'une variété close orientée de dimension n. Si les groupes d'homologie rationnelle de V sont des espaces vectoriels de dimension finie, V vérifie la dualité de Poincaré - à coefficients rationnels - comme une variété close de dimension n — l.

Uobjet de cet article est de généraliser ce théorème à toute une famille de revêtements galoisiens.

La méthode employée est complètement algébrique. Nous nous demandons pour quels groupes тг, il existe un entier r{n) tel que l'équation suivante

W { C^ ; 2[7г])-Я'-^^^ЧС^; Z), pour tout i

soit satisfaite pour tous les complexes C^ de я-modules projectifs vérifiant certaines hypothèses de finitude. Le cas particulier où nous choisissons pour C^ une résolution projective de Ж montre que le groupe n doit satisfaire les conditions suivantes:

( 1 ) H47r;Z[7i]) = 0, si /фг[7г],

( 2 ) H'-t"i(7i;Z[7c]) = Z.

Nous montrons que les conditions 1) et 2) sont en fait suffisantes.

Précisément , soient Л un sous-anneau unitaire des rationnels et C^ un complexe de Ti-modules projectifs. On suppose:

i ) le groupe n satisfait 1) et 2);

ii ) les groupes d'homologie H^{C^; Л) sont de type fini sur Л.

Alors , les groupes de cohomologie Я*(С^;Л[л:]) et Я*"'"^''^(С^; Л) sont isomorphes.

Il en résulte:

Théorème . Soit X—>X un revêtement galoisien de groupe n vérifiant 1 et 2 d'un complexe de Poincaré de dimension n. Si les groupes d'homologie H^(X; Л) sont de type fini sur Л, X vérifie la dualité de Poincaré à coefficients Л, d'un complexe de dimension n — r{7i).

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