Sous - ensembles analytiques de Z^ 327

§ 0. Notations et rappels d'algèbre commutative

1 Les anneaux (i, K,k

Soient G un anneau de valuation discrète complet, к son corps résiduel, К son corps des fractions, | | une valeur absolue sur К compatible avec la valuation et n une uniformisante de С On note К une clôture algébrique de K, | | l'unique valeur absolue sur К qui prolonge celle de K, Ö l'anneau de valuation formé des xsK de valeur absolue ^1, et /c le corps résiduel de 6, qui est une clôture algébrique de к

Soit N un entier ^0 Les espaces vectoriels K"" qX K^ sont munis des normes defines par l'égalité ||(x,, ,xOII= sup |xj On appelle houle

1 ^i^A

distinguée de K^ une boule «fermée» de K^ dont le rayon est de la forme \n\ avec пеЪ

Si В est une boule distinguée de K^, \n''\ son rayon, x un élément de Б, Tensemble desveX^ tels que ||} -\\\ ^|7i"| ne depend pas du choix de \ dans В et est noté B{K)

2 Les anneaux /1, £, С

Dans ce qui suit, N désigne un entier ^0, 4 Tanneau 6{/ , ,7д} des séries formelles restreintes en N variables a coefficients dans С (i.e l'anneau des séries formelles jeG^T^, , T^^l dont les coefficients tendent vers 0 suivant le filtre des complémentaires de parties finies), E l'anneau /t(x)^X = X(T|, , T^} des séries formelles restreintes en N variables à coefficients dans K, et С l'anneau Л1пА = Л®( к, qui s'identifie à l'anneau de polynômes /c[Tp , T^']

Quels que soient/gE et х = (х^,. ,Хд)еб^^, la série obtenue en substituant Xj à 7^ (l^ï^A^) dans le développement de f est convergente dans К et sa somme est notée j{x) L'application qui à / associe la fonction хь^/(х) de (9^ dans K, permet d^identifier E à un sous-anneau de Гаппеаи des fonctions nues de (9^ dans К

Signalons quelques propriétés des anneaux E et Л

a ) Complété de l'anneau noethénen C^IT^, , T^] pour la topologie л- adique, l'anneau A est un anneau noethénen, complet pour la topologie n-adique et son radical est égal à тгЛ, l'application canonique Specm(C)i—>Specm(/l) est donc un homéomorphisme du spectre maximal de С sur celui de A

b ) Comme С est un anneau régulier ([Se 1], ch IV, cor à la prop 21) dans lequel tout idéal maximal est de hauteur N et que к est un élément non diviseur de 0 du radical de A tel que /1/яЛ = С, Гаппеаи A est régulier et tout idéal maximal de A est de hauteur iV+L en particulier toute chaîne maximale d'idéaux premiers de A est de longueur N +1

c ) L'anneau E est l'anneau de fractions Л[7Г"^] de Л C'est donc un anneau noethénen régulier.

d ) L'anneau E est un anneau de Jacobson ([Ta], cor. 1 au th. 5 3) Munissons E de la topologie invariante par translations pour laquelle les 7г"Л