Die Struktur der absoluten Galoisgruppe p adischer Zahlkorper

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zwei Äquivalenzklassen von hermiteschen ( = quadratischen) Formen auf К wobei zwei Formen äquivalent sind, wenn die Determinanten der zugehörigen Matrizen kongruent mod(F'')^ sind Weiter gibt es fur J = l und ungerades n keine antihermitesche Form, wahrend fur gerades n alle antihermiteschen men äquivalent sind, ihre Determinante ist ein Quadrat Dabei ist fur des n notwendig b'^=b, für gerades n entspricht der erste Fall b'^ =b und der zweite b'^ = —b

Es bleiben noch die Aussagen ii) über hyperbolische Formen zu zeigen Sind alle Formen äquivalent, so ist nur zu untersuchen, wann überhaupt hyperbolische Formen existieren Ist M ein irreduzibler Л-Modul, so gilt aber die ^-Modul-Isomorphie Л^М", außerdem gilt Hom(M,lF^,)^M wegen der A- Isomorphie llom{A,Wp)^A (die zB aus der Existenz der kanonischen Form ф^ folgt) Aus Lemma 2 folgt daher, daß hyperbolische Formen genau dann existieren, wenn n gerade ist Dies zeigt a)ii) und den ersten Teil von b)ii)

Fur gerades n, J = l und b'^ = —b betrachte man

^o= ( ^ o)' ^^^(o o)'

n bzw die Block-Diagonalmatrizen c, eEM^{F), die aus - Blocken der Gestalt Cq

n

bzw ^0 bestehen Fur diese gilt c'^ =c, e^ = e, ec-\-ce^ =c und detc = ( —1)^ Daher ist d = cb~^ eine hyperbolische antisymmetrische Einheit bezüglich *, weiter gilt

det^ = (-l)2mod(F")^

da detb em Quadrat m F"" ist Weil alle antisymmetrischen hyperbolischen Einheiten bzw Formen äquivalent sind, folgt hieraus die zweite Aussage unter b) ii) q e d

3 2 Wir betrachten nun speziell die endhchen Faktorgruppen der Gruppe ^ aus 1 1 Fur em Element x einer (pro-)endlichen Gruppe bezeichne Ord2X den 2-Anteil der (supernaturlichen) Ordnung Ordx von x

Lemma 8. Sei G eine endliche Gruppe mit Erzeugenden о und т, die der Relation ата~'^=т^ ° fur eine ungerade Primzahl p und /qGN genügen Weiter sei a G—^Wp"" ein beliebiger Charakter und * die Anti-Involution auf 1F^,[G] gemäß (11) Dann existiert genau dann eine symplektische Form bezüglich * auf F^,[G] (insbesondere auch eine hyperbolische symplektische Form), wenn eine der den drei Bedingungen erfüllt ist

i ) Es gibt ein Element p^eG mit Oxd2pQ = Ové2^iPo)^^

II ) Es ist /o ungerade, /?ф1(4), und fur ^2=^'^^ und (T2 = ö'''^ gilt а(т2)=1, ^(^2)— ~1 ^^^ <^\ = ^\^ fur ein XGZ2

III ) Es ist /q ungerade und а(т) ^ = — 1