388 В Perrm-Riou

Démonstration . Soit x un élément de J^^-i ^^1 que

x^'' = ay{aEJ^„\,yEU:;'\l x = bz{bejr\zeUy).

Alors , a est égal à b^" et a appartient à ^y^^-^iv P^^^ toute place v divisant p Mais le noyau de l'application restriction

est nul pour n assez grand. Cela implique que a appartient à ^V^'^'Ç et que x appartient à J^^^ ^n^-li

Démonstration du lemme 3.14. Il suffit de voir que si l'on définit t„(/i) par

t „ ih ) iqu ) = N„„_,{hiu)l

il ne dépend pas du choix de u, c'est-à-dire que si и appartient à E^, N^ n_i{h{u)) est égal à 1 D'après le lemme 3.15, il suffit de montrer que

Mais cela est égal à

П (Th{u) = h{uy = l

аеО ( Жгг1Жп i)

Lemme 3.16. Soit r^ l'application

induite par la multiplication par n*. On a

^n°^n~'4n - i°^n (pour n assez grand)

Démonstration . Il suffit de reprendre la construction de rj^ Soit / un élément

de

Hom ( £ , „ , ^J^ "

et h = t^{f). En remarquant que

i „ °t „ if ) iqu ) = fiuy,

on voit que l'on peut choisir les représentants de f{u) et de h{ü) de manière à ce que

et on en déduit que et