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В Perrm-Riou

D'où une égalité du type

{ P , P } , ,-t,{F)-' h,{P)^D,{P)modn^ -0^

où D^{P) est une fonction quadratique sur E^{F) à valeurs dans б^р/тг" ""(9^

vérifiant

i ) , ( aP ) = degaZ)„(P)

pour a G 6^ et continue pour la topologie induite par l'inclusion

Par un lemme tout à fait analogue au lemme 1 3, D^ est donc identiquement nulle

Cela termine la démonstration du théorème 4 1 Ensuite, la proposition 2 4, la formule (6) et le théorème 41 permettent de finir la demonstration du second théorème annoncé dans l'introduction

5 . Exemples numériques

Nous allons d'abord donner quelques exemples de calculs de hauteurs Toutes les courbes elliptiques considérées ont une équation de la forme y^' = x^ — dx avec deZ, ont bonne réduction en 5 et sont telles que le groupe des points rationnels sur Q est de rang 1 Elles sont donc définies sur (Q, à multiplication complexe par l'anneau des entiers de Q(0 (avec i^=—1) On prend comme nombre premier p = 5, p = ( —1+2г) Soit | I5 la valeur absolue 5-adique sur (Q5 normalisée par ISIg"^ =5 et posons

c =

{ i - '^ ) hAP ) / 5

où P est un point de E{K) engendrant un sous-groupe d'indice premier a 5 Comme E{K) n'a pas de 5-torsion, сФ(Ш{К){р)) est la valeur du coefficient non nul de f{E/K, T)/T Notons £5 la courbe réduite en 5 On a alors

Le nombre #(£5 (F5)) est premier à 5 si et seulement si d n'est pas congru à 2 modulo 5 Par exemple

y^ = x^-Hx, P = (8,20), c = l, y^ = x^-124x, P = (18,60), c = 5

Donnons deux exemples où #(£5(^5)) est divisible par 5 (en fait égal à 10).

y^=x^ - 2x , P = (-l, 1), c = l,

dans ce cas, \hj^{P)/5\^^ est égal à j La forme bilinéaire t^{K)~^{, )^ ^ n'est donc pas à valeurs entières et l'indice de E^{K) dans E(K) est exactement