Weitere Untersuchungen über die kubische diophantische Gleichung i^—f=D

Von Otto Brunner, Meilen

Einleitung

In seiner Arbeit ,,Über hubische dio^phantische Gleichungen''^) hat Herr Fueter ein von ihm gefundenes Ejriterium für die rationalen Lösungen von z^ — y^ = D^) veröffentlicht. Diese Untersuchungen sind von mir weitergeführt worden; im folgenden gebe ich die bis jetzt gefundenen Resultate wieder^).

In den Abschnitten I und II zeige ich, daß der Fueter'sehe Satz auch gilt, wenn D gewisse ungerade Primfaktoren in gerader Anzahl enthält und wenn D ^ 5 (mod 9) ist.

Unter der Annahme einer Lösung wende ich im Abschnitt III den früheren Beweis auf Gleichungen z^ — y^ =z В an, deren D beliebige ungerade Primfaktoren in gerader Potenz besitzt, bzw. von den gruenzen D^ — 1 (mod 4) und D ^ — 4 (mod 16) befreit ist. Auch zeige ich, was sich ergibt, wenn man in der vorliegenden Gleichung D^l oder ^^ 8 (mod 9) annimmt. Dadurch gelange ich zur Erfassung einer Menge neuer diophantischer Gleichungen, für die die Klassenzahl von к {л/ — D) durch 3 teilbar ist.

Während im vorigen Abschnitt der Zähler von z zu den ungeraden Primfaktoren, welche in D in gerader Potenz auftreten, teilerfremd, bzw. ungerade sein muss, beweise ich im IV. Abschnitt, unter der setzung, daß der Zähler von z jene Paktoren enthält, bezw. gerade ist (D > 0 und nicht durch 3 teilbar), ein neues Kriterium, welches dem im Abschnitt II angeführten vollkommen entspricht.

Ferner sei noch hervorgehoben, daß derjenige Teil von D, welcher keine quadratischen Teiler enthält, im folgenden mit D' bezeichnet wird. Es ist also __________ D = Pi''P2^.......'Pr''D\

^ ) Commentarii Mathematici Helvetici, Band II, Heft 1, Seite 69—89; künftig durch C. M. H. II, 1 abgekürzt.

2 ) Satz 4, S. 86.

' ) Ausführliche Beweise zu den erwähnten Sätzen und weitere Einzelheiten finden sich in meiner Inaugural-Dissertation (erschienen im Sonmaer 1933 bei Gebr. Leemann & Co., Zürich), welche ich von jetzt an mit I. D. bezeichnen werde.

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