Il serait intéressant de trouver une fonction harnwnique identique à sa fonction période.

b ) Envisageons une fonction harmonique à l'intérieur d'un tore T. Comme précédemment, ses différentes branches s'obtiendront en faisant une fois le tour, deux fois le tour, etc. du tore, et cela sans en sortir. Les fonctions période de tous ordres p, я, ... sont harmoniques dans T. Supposons les fonctions p^, p^, ... positives dans T et envisageons la somme

^ = Vi-\- p%+ ...

Alors si a est infini en un point intérieur à T, les fonctions Ф^ convergent uniformément vers l'infini dans un domaine У fermé, entièrement rieur à T, Si or est fini en un point intérieur à T, alors les Ф^ convergent uniformément dans T' vers une fonction limite, harmonique dans T, Cela résulte d'un théorème bien connu de Harnack.

c ) On sait, en vertu d'un théorème de MM. Picard et Lebesgue sur les singularités impropres, qu'une fonction harmonique uniforme et bornée au voisinage d'une courbe fermée simple (régulière) est forcément monique sur la courbe elle-même. (Voir, par exemple, Kellogg, page 271).

De sorte qu'une fonction harmonique et bornée au voisinage d'une telle ligne singuHère possède sur tout circuit faisant le tour de cette ligne, les propriétés mises en évidence sous la rubrique 6 du § précédent.

§ 11. Exemple d'un potentiel à fonction de passage singulière.

La fonction suivante est harmonique dans le plan repéré au moyen des coordonnées polaires q et 0, on le vérifie aisément,

p= - Qb sm -.

Elle possède deux déterminations distinctes et deux seulement ment au point de ramification q — 0. Formons alors le potentiel suivant pris sur le segment de droite Or^^r^l, 0 = 0:

__ 1 r^ (dp ^ dLr\.

" 2nJ 0 \dn ^ dn / ^

La fonction p étant nulle sur ce segment, il ne reste que le potentiel de simple couche et l'on trouve facilement

1 r^ 1

Uo=j~ \ -j=LrdQ.

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