Elementare Theorie der konvexen Polyeder

Von H. Weyl, Princeton, New Jersey

§ 1. Hauptsatz über konvexe Pyramiden

Ist S eine beschränkte abgeschlossene Punktmenge im (n — l)-dimen- sionalen affinen Raum mit den Koordinaten x-^, x^, ••*, x^^^, so können die Punkte der konvexen Hülle von S in doppelter Weise gekennzeichnet werden: 1. sie sind Schwerpunkte von Punkten aus /S; 2. sie gehören allen „Stützen"' von S an. Eine Stütze von S ist ein Halbraum

«1 x^ + ••• + a^-i a^^-i + a ^ 0,

in dem alle Punkte von S hegen. Der Hauptsatz über konvexe Hüllen sagt aus, daß beide Definitionen identisch sind. Dabei läßt sich 1. dahin verschärfen, daß nur Schwerpunkte aus höchstens n Punkten von S zugelassen werden, 2. dahin, daß ledighch die „extremen" Stützen gezogen werden. Der Beweis dieses Satzes wird naturgemäß mit theoretischen Hilfsmitteln erbracht; die einfachste Anordnung findet man wohl in der Einleitung der Arbeit von Carathéodory ,,Über den bilitätsbereich der Fourier'schen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen", Rend. Circ. Mat. Palermo 33. 1911, S. 198—201.

Besteht S nur aus eridlich vieleri Punkten^ so ist dißJHüllejeinJfco7^t;ea;eÄ Polyeder, Für diesen Fall müssen sich die Hauptsätze auf finite ArFber- leiten lassen ; die übHche Beweisanordnung leistet dies nicht, weil sie die Anwendung der mengentheoretischen Schluß weise auf die nach 1. finierte konvexe Hülle mit sich bringt. Es scheint hier eine Lücke in der Literatur vorzuliegen, die einmal ausgefüllt werden sollte; darum öffentliche ich diese kleine Skizze, zu deren Niederschrift ich durch mein letztes Seminar in Götj^^E^Lini„Som wurde, das die

konvexen Körper zum Gegenstand hatte. Was wir im Auge haben, kann auch als eine elementare Theorie endlicher Systeme linearer Ungleichungen bezeichnet werden. Man geht zweckmäßig von der homogenen lierung aus.

Ein Punkt a in Л„ ist eine Reihe von n reellen Zahlen (a^, a^, •••, a^). Zwei von 0 verschiedene Punkte а und b liegen auf demselben Strahl, wenn die b^ aus den a^ durch Multiphkation mit einem gemeinsamen positiven ProportionaHtätsfaktor hervorgehen; solche Punkte brauchen

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