( / < * + 1 ) - I'elder , so nennen wir fi den Orad der Parallelisierbarkeit von М"^ ; eine Mannigfaltigkeit mit /и = n wird als parallelisierbare faltigkeit bezeichnet. Die Gründe für diese Bezeichnung sind leicht ersichtlich : Ist ju = n, so gibt es in M^ ein stetiges Basisfeld ( § 3, Nr. 2) ; legen wir einen beliebigen Vektor von M"^ mit dem punkt p durch seine Komponenten bezüglich der in p vorliegenden Basis fest, so heißen eben zwei Vektoren parallel, wenn sie positiv-proportionale Komponenten besitzen. Damit ist in M^ ein stetiger Fernparallelismus konstruiert, aus dem zum Beispiel folgt, daß die Mannigfaltigkeit der gerichteten Linienelemente der M^ zum topologischen Produkt der M^ mit einer (n—l)-dimensionalen Sphäre homöomorph ist. Beispiele parallelisierbarer Mannigfaltigkeiten sind leicht anzugeben : Das Produkt aus zwei parallelisierbaren Mannigfaltigkeiten ist wieder parallelisierbar, also liefert der Ti-dimensionale Torus (Produkt aus n Kreislinien) ein Beispiel für eine parallelisierbare M^. Wir bemerken noch, daß man in einer parallelisierbaren M'^ genau wie im euklidischen Raum teristiken durch Parallelverschiebung aller beteiligten Vektoren an einen festen Punkt der M"^ berechnen kann (§ 3, Nr. 2).

Das zentrale Problem dieser Arbeit, zu dessen Lösung im folgenden einige Schritte getan werden, ist die Bestimmung des Grades /л einer vorgelegten Mannigfaltigkeit. Wir sind berechtigt, dieses Problem ein topologisches zu nennen, denn zwei Mannigfaltigkeiten, die sich vermöge einer ein-eindeutigen und in beiden Richtungen stetig differenzierbaren Abbildung entsprechen, haben offenbar denselben Grad.

2 . Gerüste und Oerüstpaare

Den folgenden Betrachtungen sei eine feste Zellenzerlegung der Ж" zugrunde gelegt ; eine r-dimensionale orientierte Zelle bezeichnen wir mit x^, die zu x^ duale Zelle der dualen Zellteilung^^) mit I'*-''. Die zerlegung sei so fein, daß der Stern von x^ (das ist die Gesamtheit aller Zellen, die mit x^ Punkte gemeinsam haben) ganz in einem Element der Ж** liegt. Im Falle 1 (Nr. 1) wollen wir ferner die duale Zelle l**-** zu x^ so orientieren, wie das in orientierbaren Mannigfaltigkeiten üblich ist^^) ; im Fall 2 werden Orientierungen überhaupt keine Rolle spielen.

Ein Gerüst ist nun ein auf allen Zellen eines Teilkomplexes К der dualen Zellteilung definiertes und daselbst stetiges m-Feld. Ist К homogen ^-dimensional^®), so sprechen wir auch kurz von einem ^-dimen-

" ) vgl. Seifert'Threlfcdl : Lehrbuch der Topologie (B. G. Teubner, 1934), ferner AH: Kap. XI, § 1. §68.

" ) vgl. AH: Kap. IV, § 1, Nr. 2.

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