4 . Satz (Dualitätsprinzip) : Zu jeder Regel erhält man eine duale, indem man alle Indizes in umgekehrter Reihenfolge schreibt. Diese kann bei geradem n und muß bei ti = 2 mit der ursprünglichen zusammenfallen.

Beweis :

Ai , . . . . Ä : n - i * ^0,...,0,1(,),0,...,0 = 2; /Ä;i+8i-S8.....*n-i+8n-i-8n

öl , . , .fön

ài^= - -=ài^=l , ôi,+j =... — ôi„ = О .

Vertauscht man auf der linken Seite die Reihenfolge der Indizes, so kann man schreiben

Г . r __ У Г ' ' ' '

■^tn - i . . . . , * i ^ o,...,o,i(n-*),o,...,o— f ^ ' ^ *„-.!+8n~Sn-b...,*i+82-8i

8n» . •481

Läßt man jeder Verteilung der à^ die Verteilung entsprechen

5^ = 1 — ^r (r = 1,..., n)

so folgt

к + V-ы — ö; = Ä:, + (1 -^r+i) - (1 — 5.)

= ir+<5r-

^r + l

A«^i , . . . , * i * A,...,o,i(n-e),o,...,o — -^ An-i+8n-i~8n,...,*iH-8i-St

On» " 481 Ч H ' »8+1 »n

Damit ist das Dualitätsprinzip bewiesen.

5 . Satz : Aus den Grundregeln und der trivialen Regel i\^ j^^^ * Л),... ,0= Ab...,i;n-i ^^^ '^^^^ ^^^^ beliebige Kompositionsregel ableiten.

Beweis : Man teilt jeder Matrix eine Ordnungszahl zu in folgender Weise : jT^j.^ i.^^ besitze eine höhere Ordnungszahl als /tj,...,jtnli wenn entweder

n—1 «—1

E tkt> E tkl

oder

n - X n~l

E tkt= E tk[

h __ i. f г, — h ^

kr<K (r = n—1, n —2,...,2).

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