die Koordinaten x^ habe. Ist dann r irgend eine ganze Zahl, so ist der Wert des Charakters für das Element x^ die Summe der r-ten Potenzen der (Oi. Nun hat x^ die Koordinaten rx^ und daher folgt aus (40)

0 ) 1 +0)1+-----\-o)li^i = l + 2(cos 2^ra;i + cos 2nrX2-]-----H-cos 2nrXi) .

Dies gilt für alle ganzen Zahlen r und liefert daher die Werte der со,. Man erhält :

Die charakteristischen Wurzeln ш, sind die Zahlen

1 , e(x,), e(—x,), /=. 1,2,...,Z. (41)

Die charakteristischen Polynome der darstellenden Matrizen haben also reelle Koeffizienten.

Die darstellende Matrix eines Elements x des Toroids ist nun nach § 1, Nr. 2 in einem geeigneten Koordinatensystem des raumes einfach die Diagonalmatrix, welche in der Hauptdiagonalen die Zahlen (41) enthält. Durch eine Koordinatentransformation im stellungsraum kann man statt dessen auch die Darstellungsmatrix

1

cos 2nx^ —sin 2 7tXi Ji(^x) = \ sin 2nXi cos 2nxi

0

( 42 )

cos 2nXi —sin 2nXi sin 2лх1 cos 2nXi

erhalten ; sie ist reell und orthogonal. Man kann nun nach einer Methode von Schur^^) aus dem Charakter (40) allein nachweisen, daß überhaupt alle Gruppenelemente x (also auch die, welche nicht auf dem Toroid liegen) in einem geeigneten Koordinatensystem des Darstellungsraumes durch reelle Matrizen dargestellt werden. Da diese Matrizen sowieso als unitär angenommen werden können, folgt nun, daß die darstellenden Matrizen eine Gruppe 0 von orthogonalen Matrizen der Determinante + 1 bilden. Unsere Lie'sche Gruppe G ist auf die Gruppe 0 durch die Darstellung homomorph abgebildet; wir bestimmen noch den Kern dieses Homomorphismus, also die Elemente von G, welche auf die heit von 0 abgebildet werden. Es sind dies genau die Elemente x, für

12 ) O. Frobeniua, I. Schur, Sitzungsberichte Preuß. Akad. 1906.

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