in 3(9г—1) punti^"^); per ?г=2, una eongruenza di quartiche y^ appoggiate semplicemente a tre rette. Se il sistema omaloidico ha un elemento base, punto e relativa tangente, le curve della eongruenza Ü passeranno tutte per un punto fisso ; e cio équivale per esse all'appoggiarsi a due rette infinitamente vicine, dell'uno о delFaltro sistema indifferentemente.

Ogni trasf ormazione principale su M muta congruenze Ü in congruenze Ü; in particolare ciascuno dei due sistemi di rette anche in una gruenza Q.

Le direttrici di una eongruenza ü sono tutte curve razionali. Anzitutto è certamente razionale ogni direttrice a cui le со si appoggino in un solo punto. Invero le oo^ œ passanti per uno stesso punto generico di questa direttrice sono tangenti in questo punto al relativo piano principale, al quale è pure tangente la direttrice, e quella со, certo razionale, che è ivi tangente a questa direttrice dovrà contenerla corne parte, о eventual- mente coincidere con essa. Se poi vi fosse una direttrice ô non razionale a cui le со si appoggiassero in due о più punti, facendo variare ô con continuità su M^^), la linea corrispondente a ô nel piano ж potrebbe acquistare un punto doppio о una tangente doppia in più, pur senza spezzarsi. AUora ô si spezzerebbe in una linea di ordine inferiore di due unità e una retta corda di questa, da contarsi due volte ; e la eongruenza Q si spezzerebbe in almeno due congruenze di linee appoggiate alla nuova ô e 8b questa retta complessivamente nello stesso numéro di punti, ma diversamente ripartiti; il che per una eongruenza del 1° ordine non è possibile^Q).

2'^ ) Supposto che la rete omaloidica abbia щ punti basi di multiplicita г, cio è appunto conforme alla nota relazione Cremomana ^га^ = 3{п—1) {Cremona, SuUe tras formazioni geometnche delle figure piane, II, Mem Accad Bologna [2], vol 5 [1865], p. 3, Op Mat , vol. II [Milano 1915], p. 173, n 6)

2 8) Cioè come curva totale di uno stesso sistema continue di curve, soddisfacenti a condiziom analoghe a quelle cui era assoggettata 8.

2» ) Quando una curva | del piano n acquista un punto doppio (eventualmente un punto doppio m più) senza spezzarsi, ogni sistema di linee tangenti alia prima m Ä; ^ 1 punti variabili si scmde m due sistemi di egual dimensione, uno di imee pure tangenti a ^ m к punti, I'altro di Imee passanti pel punto doppio e tangenti a ^ m A; — 1 punti. Cosi avviene ad es. per I'lnviluppo delle rette tangenti a $, Ma se | e razionale, e non puo qumdi acquistare un punto doppio senza spezzarsi, la conclusione iudicata nel teste non puo applicarsi, almeno senza un previo esame delle componenti m cui | о la curva com spondente di M si spezzano e delle condizioni a cui queste componenti risultano vincolate P. es. nella eongruenza di quartiche y* passanti per un punto fisso P e appoggiate m un ulteriore punto variabile a una fissa ^q di queste stesse quartiche (n. 9 e seg.), y^ puo spezzarsi soltanto in ima retta a passante per P, un'altra retta a dello stesso sistema, e nella loro sécante comune b contata due volte. E le y* passanti per P non possono mcon- trare ulteriormente ne la retta a, ne la ngata cubica luogo delle rette 6, cioè di direttrice a, alia quale rigata esse sono tangenti m P, sicchè la direttrice y о si riduce alla sola retta a, в la eongruenza non si spezza.

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