7t

Falle I ^ I > -^ ist außerdem der Integrationsweg in der 99-Ebene nicht geradHnig, sondern so zu wählen, daß diese Schnitte gemieden werden^^).

7t

Im Falle ^ = —- ergibt (67) eine bekannte Formel von Rutgers^®). Multi-

pUziert man (67) mit (kr)-f^ und läßt man dann к gegen 0 gehen, so ergibt sich die ebenfalls bekannte Integraldarstellung ^'')

n 0

der Gegenbauerschen Funktionen.

33 . 2 . Anwendung der Orthogonalitätseigenschaften der Gegenbauerschen Polynome

Wir geben für diese Methode (Methode В von S. 288), die bei den B.-G.-Reihen von 31.1 und 31.3 auf bekannte Integralformeln führt, nur ein Beispiel. Aus (33^) ergibt sich durch Multiplikation mit

( ifcr ) 2^ + i ( 7^^ + i ( cost ? ) sin'^ + '^ ,

Integration nach 1? und Beachtung von (65)

/ * Jf« , x Uikr cos« ^\ Jf«,X (- 2ikr8m.^ ^\ C^J^+i (cos ê) sin^^^ de

- r ( 2A + J ) m! (2Я+1)„ .F.i-■ Л(кг) J,щ^^(кг)^^^

WO ^2 die gleichen Argumente wie in (33) hat. Diese Formel vertritt für Produkte Whittakerscher Funktionen die Rolle des Gegenbauerschen Integrals bei Zylinderfunktionen ^^). Sie kann im Falle m = 0 auch sehr elegant mit Hilfe der Laplacetransformation gewonnen werden®^). Die den Entwicklungen (38) und (39) entsprechenden Spezialfälle dieser Formel sind

fjx (kr cos2 ^\ jJkr sin^ ~\ Cli+i(cos &) sin^^+^dû

^ (-!)■»Г(НЯ+т)Г(Н2Я+т)^

т ! Г ( 2Я + | ) Г ( 1 + Я + т ) ^^"^^ '^^ХЦ+шСсг) (Ь9)

* * ) Dies ist stets möglich, wie eine elementare Überlegung zeigt.

^® ) Watson, 1. с, S. 374, Formel 4. Auf der linken Seite dieser Formel fehlt der Faktor 2. ^') Magnus und Oberhettinger, 1. c, S. 99. 88) Waison, 1. c., S. 367.

8® ) Doetschf O,, Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation, Berlin 1937, S. 310. Das Integral kann dann als Faltung geschrieben werden.

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