Quelques propriétés fondamentales des ensembles analytiques-réels 137

Soit maintenant Q une variété analytique-réelle de dimension n, plongée dans une de ses complexifications ß*, Q étant le lieu des points fixes d'une volution antiholomorphe z-^z de ß*. Soit ^* un sous-ensemble analytique- complexe au voisinage d'un point a de Q, Un système de coordonnées ç) = (Xi, ..., x^) dans un voisinage Î7* de a, nulles en a, sera dit p-propre pour jB* au point a si les p premières coordonnées d'un point quelconque de £* r^ J7* distinct de a ne sont pas toutes nulles.

On sait (voir p. ex. [8]) que, si JS* est de dimension ^p, on peut trouver des systèmes de coordonnées p-propres pour JS* au point a^). On peut même se restreindre aux systèmes de coordonnées (que nous appellerons réels) pour lesquels toutes les coordonnées x^ sont réelles si et seulement si le point respondant de [7* est dans Q.

Dans ce qui suit, nous identifierons C^ (pour 0 ^q ^n) avec le sous- espace de C^ formé des points dont les n — q dernières coordonnées sont nulles et nous désignerons par jr^ la projection (x^, ..., x^) -> {x^, .,,, x^) de C^ sur 0«.

Soit [7* un voisinage ouvert de a dans ß* dont l'image dans C^ par cation qui a un point fait correspondre ses coordonnées soit un polydisque I iCf I < Tji, On sait [8] que, si (p est ^^-propre pour £* au point a et si les rj^ sont suffisamment petits, l'on a les résultats suivants:

a ) pour chaque indice j = 1, ,,, ,n — p, il existe un polynôme distingué Qj(X; x^y,,. , Xj,) à coefficients analytiques en (x^,..., x^,) dans л;р(С/*), sans facteurs multiples, tel que

QA^p + i ;X^,.,,,X^) = 0 sur £* л^ Î7* . (16)

On désignera par Й* le sous-ensemble analytique-complexe de t7* défini par les équations (16)2). ^

b ) si 99 est réel et si Я* est invariant par l'involution 2 -> i, on peut choisir les Q^ eux aussi invariants, c'est-à-dire à coefficients réels quand les x-^,..,, Xj, sont réels.

c ) il existe une standardisation subordonnée au système de coordonnées

^ ) Cette propriété est prise comme définition de la dimension dans [8]. Ici, nous conservons la définition usuelle de la dimension d'un ensemble analytique-complexe (cf. p. ex. [5]): E^ est de dimension << p si l'ensemble de ses points réguliers est une variété dont toutes les posantes connexes sont de dimension << p.

* ) Les polynômes Qj ne sont pas uniques, même en se restreignant aux polynômes de plus petit degré possible, sauf cependant si E* est purement p-dimensionnel au voisinage de a, cas auquel les Qj de degré minimum sont uniques ([8], Zusatz II, p. 273). Par suite, la définition de E* dépend non seulement de E* et de 9?, mais aussi du choix des Qj. Il en est de même de la notion de standardisation p-propre pour E* en a et des ensembles D*{E*) et S*{E*) duits plus bas. Par abus de langage, nous utiliserons souvent ces notions sans rappeler qu'elles dépendent du choix des polynômes Qj .