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W . SOHBRBEB

auch mit anderen Begriffen - schon im vorigen Jahrhundert von Codazzi, BouR und Bonnet aufgegriffen worden^). Insbesondere hat Bonnet*) die zweite Aufgabe vollständig gelöst. Da nach Satz 1 durch o)(u,v) die richtungen auf einer Fläche festgelegt werden, ist sie aequivalent mit der gabe, diejenigen Flächen zu bestimmen, welche unter Erhaltung ihrer Krum- mungsKnien verbogen werden können. Diese Aufgabe hat W. Blaschke^) der aufgegriffen und gestützt auf die invarianten Linearformen (1.24) handelt.

Die erste Aufgabe kann auch aufgefaßt werden als die Frage nach jenigen Flächen, welche unter Erhaltung ihrer Hauptkrümmungen verbogen werden können. Dies folgt ohne weiteres daraus, daß neben der mittleren Krümmung auch die GAUSs'sche Krümmung als Biegungsinvariante erhalten bleibt. Bonnet®) findet zwei Klassen von Lösungen: Die Flächen H = konst. und daneben eine Klasse «vom selben Allgemeinheitsgrad» wie die erste. Diese letztere Klasse hat später Hazzidakis') vollständig integriert.

Auf diese Aufgabe bin ich in II § 4 gestoßen und habe daselbst die hier in Satz 4 auftretenden «Flächen mit spezieller mittlerer Krümmung» als grable Flächen» bezeichnet. Bei meiner Darstellung wurde es evident, daß die Flächen konstanter mittlerer Krümmung integrabel sind. Dagegen Heß ich die Frage offen, ob es daneben noch weitere integrable Flächen gibt. Nach den eben zitierten Arbeiten kann also diese Frage bejaht werden. Immerhin haben meine weiteren Untersuchungen eine Einschränkung gehefert. Es gilt nämlich

Satz 7. Kann eine reelle Fläche im euklidischen Raum unter Erhaltung ihrer mittleren Krümmung verbogen werden, so ist sie notwendigerweise vom Wein- GAETEN5cAe72. Typus, d.h. ihre mittlere Krümmung ist eine Funktion ihrer GAVSs'schen Krümmung.

Bonnet und Hazzidakis arbeiten mit isotropen Parametern. Da nun die von diesen Autoren gefundenen Flächen, abgesehen von den Flächen H = konst., nicht vom WEiNGARTENschen T3rpus sind, ergibt sich ohne weiteres der Schluß, daß diese Flächen keine lückenlos reelle Darstellung gestatten.

Auf diese Zusammenhänge und den Beweis von Satz 7 hoffe ich bei anderer Gelegenheit zurückzukommen. Hier will ich mich auf das GrundsätzUche und

® ) Die historische Entwicklung schildert A. Voss in seinem Artikel <cAbbüdung und wicklung zweier Flächen aufeinander». Enzyklopädie der math. Wissenschaften. III D 6a, S. 406-408 (1903).

* ) «Sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée.» Journal de l'Ecole technique XXV (Cahier 42), S. 68ff. 1867.

« ) a.a.O. *), §§87und88.

в ) a.a.O.*), S. 73-92.

' ) Journal f. Mathematik 117, S. 42-56 (1897).