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Кхтвт Egg

u ( t , z^) - u{t, x^) < K(t) (x^ - x^) (9)

für zwei beliebige Punkte {t, x^), {t, X2), wo K(t) eine monoton fallende Funktion ist, niu* durch eine einzige Funktion u(t, x) befriedigt werden können. (9) wird die Entropiebedingung genannt. Man vermutet, siehe bei A.DoFGLis in [7], daß (9) durch die viel allgemeinere Bedingung

u ( t , X - 0) >u(t, X + 0)

ersetzt werden könne. Diese Vermutung wurde von B.L.Roschdestvensky in [10] für stückweise glatte и bestätigt.

In [8] verwendet O.A.Olejnik eine dritte Art von Eindeutigkeitsforderung. Sie zeigt dort, daß durch (7) eine schwache Lösung eindeutig bestimmt ist, wenn diese die Randbedingungen erfüllt und noch folgenden zwei Bedingungen genügt:

1 . Ist u(t, x) in einem Punkte {Îq, Xq) stetig, so gibt es genau eine teristik aus (3), die durch den Punkt (to, Xq, и (Îq, Xq)) geht und auf der u(t, x) für 0 < ^ < ^0 stetig ist.

2 . Ist u{t, x) in (^0, Xq) unstetig, so gibt es mindestens zwei ristiken aus (3), deren Projektionen in die ^ —a;-Ebene durch (tg, Xq) gehen und auf denen u(t, x) für 0 < ^ < ^0 stetig ist.

Nennen wir eine UnstetigkeitsUnie x = i{t) einen Schock, und die Punkte (t, X < i{t)) dessen Rückseite und die Punkte {t, x> i(t)) dessen seite, so lassen sich die obigen zwei Bedingungen physikalisch so interpretieren : Die Geschwindigkeit des Mediums unmittelbar hinter dem Schock ist größer und unmittelbar davor kleiner als die Schockgeschwindigkeit.

Diese Eindeutigkeitsforderung werden wir in unserm Falle des gemischten Anfangs-Randwertproblems anwenden.

II . Existenz einer Lösung

Wie schon erwähnt, gelang es E.Hopf in [4] eine verallgemeinerte Lösung der Aufgabe (1) mit F = u^ß für das einfache Anfangswertproblem zu finden. Seine Lösung hat die Form

wo y'^it, x) der größte Wert ist, wo

als Funktion von у ihr Minimum annimmt. Uq{x) sind die Anfangswerte u{0,x).