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JüBa B.ÄTZ

2 . Mit Satz 21.1 kann aus dem Erfülltsein der Existenzbedingung (81) unter Heranziehung des Normsystems ein Hneares г-System gewonnen werden. durch erscheint (81) als eine auch für lineare г-Systeme kompetente bedingung.

§ 22. Invariante Integrale

Sei R ein abstrakter Raum und Г eine kommutative Gruppe eineindeutiger Abbildungen von Д auf sich. Wir betrachten reellwertige Funktionen A,B,G,... über R, Durch die Setzung {rA){x) = A{rx) [alle x e R] wird die Wirkung einer Transformation r e Г auf die Funktion А beschrieben. Es bezeichne E eine ein für allemal festgelegte beschränkte nichtnegative reeUwertige funktion, welche nicht identisch verschwinden soll. Ш sei die folgende tionenmenge : Eine reeUwertige Funktion А über R gehöre genau dann zu Söl, wenn endHch viele Transformationen (т^,..., cr^ e Г existieren, die der Bedin-

m

gung l^(it;)| < 2* {o^j^E) {x) [alle x € R} genügen. Die soeben zum Ausdruck

gebrachte Beschränktheit von А bezüglich E nennen wir fortan E- heit^^), OffensichtHch ist 5Ш ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen. ÄhnUch wie in § 20 legt man sich zurecht, daß Г als kommutative Gruppe eindeutiger Abbildungen von Ш auf sich aufgefaßt werden kann. Wegen der Beziehung [r{aA + bB)} {x) = {aA +bB) (rx) = aA{tx) + bB(xx) == = a(rA) (x) -\-b{rB) (x) [alle x e R] erscheint jede Transformation r € Г als eine lineare Transformation des Vektorraumes 9JÏ. Weiter sei durch

А ^B <=-> А (x) < B(x) [alle x e R]

eine zweistelHge Relation zwischen den Funktionen von Ш erklärt, von der man leicht nachweist, daß sie Ш teilordnet und den VerträgKchkeitsforderungen (VI) bis (V4) von § 21 genügt. Nach den Ausführungen von § 21 liegt nun im dort besprochenen Sinne ein Gefüge vor. Aus der Definition von Ш ergibt sich

w ^ m ^

io ^ iA + ^ iß 5 2 -^ */j also die Tatsache, daß die Einheitsfunktion E ein

Normelement ist. Demzufolge stellt die Fünfheit <Ш1, -f-, Г, <, JS> ein res Ti-Gefüge dar.

Es werden nun ganz kurz die Hauptbegriffe der Theorie gemustert. Die Belegimgsäquivalenz von Funktionen heißt an anderen Orten Deckungsäqui- valenz^''), und die Spezialisierung der Begriffe lineares i-Feld, lineare г-Funktion und lineares i-System führt auf Integralfeld, Integral und Integrationssystem^^). Die lineare Hülle <®, '%) des Normsystems wird auch etwa als das elementare

s' ) [6],p.ll7.

»« ) [1], p.350; [4], p.307; [5], p.l20; [7], p.l62.