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Gboboss Lbbesohb

M idéal strict => l^i Jf, donc Эл tel que \^iM^. 3 un idéal maximal strict 1^^ tel que M^ с N^ (théorème de ELbuix): N^ définit un caractère continu XoL^Z^y et X'^^ Xfx^9ok^ e^ effet, par construction, Ж £ Ker (;ife oç^e), et Хи^Ч^Л^Ь^ = 1. Ker {XoL °9^a) est donc un idéal strict, et M étant maximal, il ne peut y avoir qu'égalité. La proposition 5 est ainsi démontrée.

3 . Isomorphisme de Gelfand, Г

Nous prolongeons ici la notion d'isomorphisme de GsbFAND rappelée au début de ce chapitre.

On a défini au no 1 Thomomorphisme

/ C ( ZJ^ / C ( - Z , , ) ;

{ / C {Z^ ; ^д|5} constitue un système projectif d'algèbres; posons

/ C ( Z ) = Hm/((ZJ.

Théorème 6. i) 3 un isomorphisme d^cUg^res, continu et bijectif

Г : A-^K{Z);

ii ) K(Z) s'identifie à Valgèbre des fonctions continues définies sur Zetà valeurs complexes; iii) tout caractère continu z de A est delà forme

2 : Р^ . >^ - > r(F)(z).

Démonstration . En vertu de la proposition 4, {Гд} est \m système projectif d'isomorphismes bijectifs et continus, d'où Г = lim Г^ satisfait à i).

Soit alors {hj€]imK{ZJ; {hj est un système inductif d'applications

continues , à valeurs complexes, définies sur le système inductif {ZJ, et h = lim hg^ est une fonction continue sur Z([3a], I, § 2, 4).

Inversement , si h est vue fonction continue, définie sur Z et к valeurs plexes, (Ад) = (A о Уд ) € lim К (Zg), ce qui démontre ii).

comme rappelé au no 1. Si donc zcZ, Зое et z^^eZ^^, avec;