Ein DifferenzierbarkeitsbegrifF in limitierten Vektorräumen

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( c . ) Nun seien E^ ein topologischer und F^. ein beliebig limitierter Vektorraum.

Ohne Mühe weist man nach:

Eine an der Stelle OeE^ stetige Abbildung r:E^----------> F^r ist genau dann ein

Restglied , wenn ein WeÄ'{0) existiert, so dass die Bedingung (B) für r, den umgebungsfilter Ф° in E^ und W erfüllt ist.

( d . ) Seien E^ ein normierter, F^, ein limitierter Vektorraum und r : E^----------> F^.

ein Restglied. Den Nullumgebungsfilter in E^ bezeichnen wir mit Ф°.

Dann gibt es einen Filter WeA'{Ö) (s. Bemerkung (3.1.5.)), so dass zu jedem Nul — e,e]'N aus W ein К^еФ^ und ein а existieren, mit der Eigenschaft, dass r(A-Xj,)c:a(A)-(iVu[ —e, e] JV) für alle Я aus dem Definitionsbereich [ —e', e'] von a. Für den Rest dieses Abschnitts (d.) sei Я stets positiv. Nun setzen wir Kq. = ÀK^ und drücken jedes x'eK^^ durch ein xeK^ mit ||jc||=^ in der Form x' = À-x aus. Dann folgt г{хУ\\х'\\Еа{\\х'\\/д)/\\х'\\ -(Nul-s, e]7V), falls 0< ||x'|| <ö'. Wir denken uns e' noch so klein, dass (T(||x'||/^)/||x'||<Min(e, 1). Damit resultiert r(jc')/||x'||e еЛГи[ —e, e]'N, weshalb wir Ит^с/_^о ''(^O/Il^'ll =ö folgern können.

( e . ) Seien E^ und F^> topologische Vektorräume mit den Nullumgebungsfiltern Ф° bezw. W^.

Aus (a.) und (c.) folgt:

Eine Abbildung r:E^----------> F^^ ist genau dann ein Restglied, wenn für r, Ф^

und W^ die Bedingung (B) gültig ist.

Das ist aber gerade die Definition eines Restgliedes, die S. Lang in [6] gibt.

( f . ) Sind E^ und F^ lokalkonvexe Vektorräume, fallen unsere Restgheder wegen (e.) mit den F-Restgliedern in [4] zusammen.

( g . ) Seien {(E^, Т^)}ав1 und {(F^., Г«.)}а'б/' FamiHen topologischer Vektorräume; (F, indggj Tg) und (F, indflj^gj. T«.) seien bezw. ihre induktiven Limites. Die umgebungsfilter in (F^, r„) und (F« , T^) bezeichnen wir mit Ф^ und Ф^.

Lemma 3.2.9. Eine Abbildung r von (E, ind^gj Tj nach (F, ind^g^. T^.) ist genau dann ein Restglied, wenn zu jedem a'e/ein C/a^^« ^^^ ein a'ef existieren, so dass (1.) r(l/JcF,, (2.) r|C//.(C7«, T,^J---------->(F,,, T,0 ein Restglied ist.

Beweis : Sei r ein Restglied. Aus den Bemerkungen (2.3.23.) und (3.1.5.) folgt: Zu jedem ae/existiert ein а'еГ derart, dass es zu jedem У^^^еФ^^ ein С/'еФ^ und ein 0- gibt, mit der Eigenschaft, dass r(A-(/^)ccr(A)-F«, für alle А aus dem bereich [-6,8] von a. Wir können 17« und F«. als kreisförmig (s. [5], p. 149) annehmen. Es lässt sich ein s' mit 0<б'<1 finden, so dass für Яе[-е', e'] gilt а{Х)-Уд,>с:У^,. Ersetzt man für ein festes Ae[-e', e'] die Menge X-U^ durch 17^, resultiert (1.). Aus (e.) ergibt sich (B) für r|[4, die Spur von Ф^ auf Ц, und Ф^. Die Umkehrung folgert man leicht aus Bemerkung (2.3.23.) und den Lemmas (1.2.4.) und (3.1.6.).