Relationen auf komplexen Räumen

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( 3 . 4 ) Es sei U offen und R"^-saturiert in X, die Beschränkung von R"^ auf U sei eine eigentliche analytische Äquivalenzrelation. Dann ist UnR°^(TR) = 0.

Beweis . Da t/7^°°-saturiert ist, genügt es zu zeigen, dass UnTR = 0. Es sei Xoell

gegeben . Da i^°°|c; analytisch ist, ist die Vereinigung i^°°n((7x i7)=lj/,6iv(^"'^(<^x X U)) lokal-endlich. Zu jedem j^GjR'^ (xq) gibt es also eine Umgebung F von (xq, y) in UxU und n{V)eN derart, dass i?°° nV=R''^^^n V. Da JR°" (xq) kompakt ist, gibt es also eine Umgebung W von {xo}xR'^{xo) in UxU und n{W)eN derart, dass R^ n W= R^^^^n W. Da Pr^ .R'^-^X eigentlich ist in einer Umgebung von [xq] x xR'^{xq), gibt es eine Umgebung Z von Xq in X derat, dass /?^i(Z)c:i^°°n W= = iR"^^>n fF; dann ist aber Tr(z)^«(^) für zeZ, als ZnTR = i!^.

( 3 . 5 ) Ist R offen, dann ist R"^ {TR) = TR.

Beweis . Es sei XqeX—TR gegeben; zu zeigen ist XoфR'^(TR). Zu Xq gibt es eine offene Umgebung Uvon Xq und лeN mit т^(у)^n für yeU. Da mit R auch Ä°° offen ist, ist R"^ (U) offen in JTund es gilt t^ (y) < n fmyeR"^ (U). Also ist R'^{U)n T^R = 0 für m^n, insbesondere ist R'^{U)nTR = (D, d.h. UnR'^(TR) = 9, also XoфR'^{TR).

Zum Nachweis, dass 77^ = T^R, falls iî offen oder endlich ist, beweisen wir zunächst

( 3 . 6 ) R sei eine eigentliche analytische Relation auf dem komplexen Raum X,für alle neN enthalte T^R eine offene dichte Teilmenge von T„R. Dann ist TR = T^R.

Beweis . T^czTR ist klar. - Angenommen, es gibt xeTR, хфТ^. Dann sei U eine offene relativkompakte Umgebung von л: in Z mit UnT^R = 0. Für AcX schreiben wir abkürzend A' : = An U. Da, TR Durchschnitt der analytischen Mengen T„R ist, gibt es NeN mit T^R = TR' für n'^N, also enthält nach Voraussetzung T^R' eine offene und dichte Teilmenge von TR' für n'^N. Nach Wahl von (7ist H/i^iv ^n^' = = T^R' = 0. Da TR' Bairesch ist, ist damit auch ri^' = 0. Das steht aber im spruch zu X e TR'. ____

Die folgende Aussage und (3.6) liefern den Beweis, dass TR = T^R, falls R offen oder endlich ist:

( 3 . 7 ) Ist R offen oder endlich, dann enthält T^R eine offene dichte Teilmenge von T„Rfür alle neN.

Beweis . Ist R offen, dann ist T„R offen in X wegen (1.5), also offen und dicht in T„R=TfR für alle neN. - Es sei jetzt jR endlicht. Es genügt, für neN zu beweisen: i) T^R:DT„R--p{R'''^'nR"). ii) T^R-pÇR^'-^nR'^) ist offen und dicht in T„R=p{R'''-^).

ad i). Wegen T^Rcz T„R ist i) äquivalent mit

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