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BURCHARD KAUF

=A ((57?)" (л:)) zusammenhängend ist für alle X 6Z. Der Induktionsanfang ist trivial, der Induktionsschluss и -> и +1 folgt sofort aus ( +). - Da es zu jedem xeXcinneN gibt mit (S*)°°(A(x)) = (5*)"(A(jc)), sind alle Äquivalenzklassen von (5*)°° analytische kompakte zusammenhängende Mengen. Es bleibt zu zeigen, dass r: Y-^ 7/(*S*)°°=P auf allen maximalen analytischen kompakten zusammenhängenden Teilmengen von F konstant ist. Dazu genügt es zu zeigen, dass r auf jeder irreduziblen analytischen kompakten Teilmenge В von Y konstant ist. Zu В gibt es eine irreduzible kompakte analytische Teilmenge А von Xmit h(A) = B; dapiX-^X auf А konstant ist, muss r auf В konstant sein. Damit ist a) bewiesen.

Ad b). Wir überlegen uns zunächst, dass wir o.B.d.A. h als endlich voraussetzen können. Ist nämlich h nicht endlich, so zerlegen wir h:X-^ Fin zwei eigentliche sur- jektive holomorphe Abbildungen h^:X-^X^ und A2:J^i->F, wobei h^ einfach ist (d.h. nur zusammenhängende Fasern hat) und /i2 endlich. (Vgl. [15, Satz 9], [2, rem 3]). T>2i p\X^X auf allen kompakten zusammenhängenden analytischen mengen von X konstant ist, gibt es Pi'.X^ ->Z mit p^h^ =/?. Mit X ist also auch X^ holomorph-konvex, mit h ist auch /^2 offen ; ferner ist jR* = JR*, wenn R\ ; = {PiXPi) (Ri), wobei R^ die durch Ä2 auf X^ erzeugte Äquivalenzrelation ist. - Wir können also annehmen, dass h endlich ist. Im Folgenden benutzen wir das folgende, leicht zu beweisende Lemma:

( 4 . 7 ) h:X-^ Fsei eine offene eigentliche endliche surjektive holomorphe Abbildung, В und B' seien kompakte irreduzible analytische Teilmengen von 7, Qssei ЬеВпВ'; А sei eine irreduzible analytische Teilmenge von X mit h(A) = B. Es sei ae^ mit h{ä) = b. Dann gibt es eine irreduzible analytische Menge A' in X mit h{A') = B' und aeA'.

Aus (4.7) folgt nun leicht, dass Y die Eigenschaft MAKZ hat. Angenommen, Y hat nicht die Eigenschaft MAKZ. Dann gibt es eine unendliche Folge B^, B2, ... irreduzibler kompakter analytischer Teilmengen von Y mit 5„ n 5„+^ # 0, ^„+1 ф ^i u u...kjB„. Ist dann A^ irreduzibel und analytisch in X mit /i(v4i) = Б^, gibt es wegen (4.7) eine unendliche Folge A^, A2, ••• kompakter analytischer Teilmengen von X derart, dass А„г\А„+^фф, А^+^фА^и.-.^Ап, Das widerspricht aber der Tatsache, dass Zdie Eigenschaft MAKZ hat. - Zum Nachweis, dass die Relation i?* eine offene Äquivalenzrelation ist, beweisen wir zunächst

( - { - + ) Mc=:X^R{p'^ (M)) ist S-saturiert in X.

Da i?(/?~^(M))=(Jjggj^f i?(/7"^(jc)), genügt es zu zeigen, dass R{p~^{x)) 5-satu- riert ist für xeX. Angenommen, R{p~^{xy) ist nich 5-saturiert. Dann gibt es eine irreduzible Komponente A^ von R{p~^{x)) und eine kompakte irreduzible analytische Teilmenge A'^ von X mit А^пА\Ф(1^, A\<i;:R{p~^{xf). Es sei A2 eine irreduzible Komponente von;? ~ ^ (x) mit h {A^ = h {Aj)^ Т>аА^пА\Ф 0, ist auch h {A^ n h {A[) ф 0.