Relationen auf komplexen Räumen

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Wegen (4.7) gibt es nun eine irreduzible analytische Menge A2 in Zso, dass ^2 »^ ^2 7^0 und h{A'2) = h{A\). Wegen ^2*^^27^^ ist ^2^/?~^(x), wegen h{A\)^h{p~^{x)) ist also A\czh~^h{p~^{x)) = R[p~^{x)\ im Gegensatz zur Voraussetzung. Damit ist (+ +) bewiesen.

Nun folgt leicht, dass i?* bereits eine Äquivalenzrelation ist: für Jee^ ist wegen (+ ■\-)S{R{p-\x))) = R{p-'{x%2iho ist {R^)\x)=p{RSR{p-\5^^p{R{p-\x))) i?*(x); wegen (1.2) ist also i?* = (i?*)^, d.h. i?* ist eine Äquivalenzrelation, i?* ist sogar eine offene Äquivalenzrelation : ist U offen in X, dann ist R* (U) =p {R(p~^ (Ю)) l mit h ist auch R offen; also ist R{p~^(U)) offen in X, Wegen {+-{-) ist R(p-^ (U)) 5-saturiert in X; nach Definition der Quotiententopologie von X = XIS ist also p{R{p~\U))) = R'^{U) offen in X, - Damit ist (4.6) vollständig bewiesen.

( 4 . 8 ) SATZ. Der holomorph-konvexe komplexe Raum X genüge dem schwachen Riemannschen Hebbarkeitssatz, R sei eine offene eigentliche analytische Äquivalenz- relation auf X. Ist der Quotient Y: = X/R ein komplexer Raum, dann ist er ebenfalls holomorph-konvex und genügt dem schwachen Riemannschen Hebbarkeitssatz.

Beweis . h:X-^ F sei die kanonische Projektion. Wir überlegen zunächst, dass X

dem schwachen Riemannschen Hebbarkeitssatz genügt. Es sei X:= (X, ^), wobei

^ die Garbe der Keime der schwach-holomorphen Funktionen auf X ist. X genügt

dem schwachen Riemannschen Hebbarkeitssatz. Ist /:X-^^ kanonisch, dann gibt

es (vgl. [5, Seite 52/53]) eine holomorphe Abbildung p:X-^Xmit ip=p. Da. X als geringter Raum Quotient von X ist und / ein Homöomorphismus ist, ist / ein morphismus komplexer Räume. - Genauso zeigt man, dass Y dem schwachen mannschen Hebbarkeitssatz genügt. - Wegen (4.1) und (4.6) ist P=X/R* der Quotient von X nach einer eigentlichen endlichen offenen analytischen Äquivalenzrelation, also komplexer Raum wegen (4.4), also ist Y holomorph-konvex wegen (4.5).

Beim Beweis von (4.5) haben wir die folgende Aussage benutzt, die im Wesentlichen in [14, Sats 8 e)] und [11, Seite 64 ff] bewiesen wurde:

( 4 . 9 ) X und Y seien (nicht notwendig reduzierte) komplexe Räume, h\X^Y sei eine eigentliche, endliche, holomorphe und surjektive Abbildung. Ist X Steinsch, dann auch Y.

Der Vollständigkeit wegen wollen wir den Beweis von (4.9) angeben. Zunächst kann man wegen [3] annehmen, dass Zund Freduzierte komplexe Räume sind, ferner können wir annehmen, dass Firreduzibel ist. Da es eine irreduzible Komponente von X gibt, die durch h auf Y abgebildet wird, kann auch X als irreduzibel angesehen werden. Es seien X*, 7*, A* die Normalisierungen von X, Y bzw. A. Mit X ist auch Z* Steinsch, wegen [14, Satz 8 e)] ist mit Z* auch F* Steinsch, wegen [11] ist mit 7* auch Y Steinsch.