Isoperimetrische Ungleichungen der Mathematischen Physik

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Wir erwähnen wiederum die beiden Spezialfälle

KOROLLAR 9 : Wem 6ü + (D) < 2n ist, gilt {2n-co^{D))jl

h>

2Ä

( / o = 2,4048... erste Nullstelle der Besselfunktion nullter Ordnung)

Das Gleichheitszeichen steht nur bei Gebieten, die der Mantelfläche eines Kreiskegels isometrisch sind,

KOROLLAR 10: Wenn со (B)/A (B)^ К für alle Gebiete В c:D ist, dann gilt a{4n-Ka)v'\a)da

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Ài > Min —

v ( A ) = 0

/ " " ( «'

da

Das Gleichheitszeichen steht bis auflsometrie nur bei den geodätischen Abstandskreisen auf einer Fläche konstanter Gauss* scher Krümmung K.

Beispiele : 1) G sei ein Gebiet auf einem Polyeder. Ei i=l,.,.,n seien seine Ecken innerhalb G und coi die entsprechenden Eckenkrümmungen. Nach Korollar 9 folgt

( 271 - ^ 0)i)fo

2 ) Eine Folgerung aus Korollar 10 lautet: Von allen Gebieten mit gegebenem Flächeninhalt auf einer Fläche konstanter Gauss'scher Krümmung hat der Kreis den kleinsten ersten Eigenwert. Dieser Satz wurde schon von Peetre [16] für beliebige Dimensionen bewiesen.

Bemerkung A : Die rechte Seite von (50) kann als erster Eigenwert eines homogenen Seiles der Länget und mit dem Elastizitätskoeffizienten к(а) = а{4п'-2а)к {D) — Kd) aufgefasst werden, das rechts eingespannt und links frei ist. Die zugehörige tialgleichung ist {k{a)v\a)y+yv{a)=0 in (0,^), t;(^)=0 und t;(0) beschränkt. К war bis auf die Bedingung ш^ {D)<2n eine willkürliche Konstante. Wir setzen nun die Existenz der Gauss'schen Krümmung voraus. Verwendet man bei der Abschätzung des Dirichletintegrals (Lemma 1, § 1, 2.2) anstelle von Ungleichung (c) die schärfere Ungleichung (c'), so erhält man das Ergebnis: