Extremaleigenschaften von Kreissektoren und Halbkugeln

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1 . 3 . Geometrische isoperimetrische Ungleichungen für symmetrische Gebiete

DEFINITION . Ein Gebiet heisst symmetrisch von der Ordnung q {q natürliche Zahl), falls ein Punkt 0 (Symmetriezentrum) existiert, so dass G bei einer Drehung um den Winkel Injq um 0 in sich selbst übergeht.

Wir treffen über G folgende Annahmen:

( A ) G sei ein symmetrisches Gebiet der Ordnung q

( B ) Sein Rand Г bestehe aus einer inneren, geschlossenen Randkurve у und den übrigen Randkurven Tq. Sowohl у als auch Tq sollen dieselbe Symmetrie wie G weisen. (Fig. 11).

( C ) Es sei S ein Sektor vom Öffnungswinkel Injq mit der Spitze in 0. S schneidet aus y den Bogen y s heraus. Wir setzen Фз = (ру^ und $y=msiXs$s- Es gelte Фу^п,

Fig . 11 Fig. 12

Nun betrachten wir einen Bereich Gj^ im Innern von G mit derselben ordnung wie G. Der Rand von Gx enthält Teilbögen aus y. Denjenigen Teil, der nicht zu y gehört, bezeichnen wir mit Г^^ G^ braucht nicht zusammenhängend zu sein (Fig. 12). А (Я) ist die Fläche von G^ und L{X) die Länge von Гд.

Behauptung . Unter den Voraussetzungen (A), (B) und (C) gilt L^(A)>min {4л:, 2q(x}A(X), wobei а = (7Г-Фу).

Beweis , 1. G^ besteht nur aus einer Komponente. In diesem Fall gehört seine äussere Randkurve ganz zu Гд. Wendet man die isoperimetrische Ungleichung der Ebene an, so folgt Û(X)^4nA(X).

2 . Gx setzt sich aus mehreren Komponenten zusammen. Wegen der Symmetrie sind es deren kq (k natürUche Zahl). Gx geht durch Rotation aus den zusammen-