Extremaleigenschaften von Kreissektoren und Halbkugeln

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2 . Definition der a-Symmetrisierung

2 . 1 . G sei ein ebenes Gebiet mit dem Rand Г und dem Flächeninhalt A,

DEFINITION . Mit S^{G) bezeichnen wir den Kreissektor mit dem gleichen Flächeninhalt wie G, der durch die Radien ö=0, 9—а und durch den Kreisbogen r = {2AI(xY'^ begrenzt wird (а<27г).

/ sei eine stückweise stetig differenzierbare Funktion in GkjF. у ist eine endhche Vereinigung stückweise glatter Bögen, welche dem Rand Г angehören. Es gelte ferner /^0 in Gu7,/=0 auf Го=Г\7.

Wir führen folgende Bezeichnungen ein : (гя = {Р;РеоиГ,/(Р)^Я},

Гя = {Р;Ре^иГ,/(Р)=Я} sei derjenigen Teil des Randes von G^, der nicht zu у gehört. O.B.d.A. können wir annehmen, dass 0</^l ist und somit Яе[0, 1].

DEFINITION . SJisi die auf *S« (G) definierte, positive, nicht-zunehmende tion von r, die auf dem Kreisbogen des Sektors S^{Gx) den Wert к annimmt.

Da S^f eine abnehmende Funktion ist, ist sie fast überall differenzierbar. ^2^ bedeutet die Schwarzsehe Symmetrisierung [12, S. 189]

2 . 2 . Eigenschaften von S^f.

Aus der Definition von S^f gQhi hervor, dass

^^tî { f ) dx ày= jl H (SJ) dx dy (3)

G S„(G)

für jede in [0, 1] integrierbare Funktion H{t).

Unter dem Dirichletintegral von/verstehen wir die Grösse jD(/)=JJ grsid^fdxdy.

SATZ I. G und Г mögen den Voraussetzungen von (d) (§1,1-2) genügen, nämlich: Г=Гдиу sei positiv orientiert, у liege auf einem Bogen у mit derselben Orientierung wie у und mit ^y><n,f sei eine positive, stückweise stetig differenzierbare Funktion in GkjF, welche auf Fq verschwindet. Dann nimmt das Dirichletintegral bei einer a- Symmetrisierung ab:

^Gif ) >Ds^^G ) iSJ ) , wobei а^п-фу (4)

Beweis , Wir benötigen ein Lemma, das auf [6, 9, 12, S. 219...] zurückgeht und eine Möglichkeit darstellt, das Dirichletintegral mit Hilfe geometrischer gen abzuschätzen.