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CATHERINE BANDLE

Das Minimum ist über alle stückv^eise stetigen Funktionen v zu erstrecken. Die erste Eigenfunktion liefert das Minimum des Rayleighquotienten.

SATZ 3. Falls G, Fq und y die Voraussetzungen von (d) (§1,1.2) erfüllen, d,h, y liegt auf einem stückweise glatten Bogen y', der gleich orientiert ist wie y und für den (py^<n, so ist

( A Fläche von G,jo= 2.4048... erste Nullstelle der Besselfunktion nullter Ordnung).

Das Gleichheitszeichen steht nur bei der Membran ô=Sg^(G), die längs dem bogen r = {2Aj(xY^^ eingespannt und längs den Radien 0=0 und 9=(xfrei ist.

Beweis , Die erste Eigenfunktion des Extremalgebietes ô ist

il ( r ) = Jo(-r\ wobei R = {2Ala}^.

Der entsprechende Eigenwert ist X^ =jo/R^, Wir bezeichnen mit и die erste funktion der Membran in G, и hat konstantes Vorzeichen und kann demzufolge symmetrisiert werden. Wir schätzen X^ mit Hilfe des Rayleighquotienten ab. Als gleichsfunktion wählen wir S^^u, Somit erhalten wir unter Berücksichtigung von (3) und Satz 1 (§1,2.2)

jjiSauf dx dy !ju4x dy

S« ( G )

Bemerkungen , 1. Wenn у konkav und zusammenhängend ist, ist а=7г und À^'^njo/IA, Dieses Resultat findet sich schon in einer Arbeit von Nehari [10, Satz III]. Nehari verwendete konforme Abbildungen und musste daher einige Annahmen topologischer Art über G und y treffen, auf die hier verzichtet werden konnte.

2 . Wenn фу. >71 ist, gibt es keine untere Schranken, die nur von А und фу^ hängig sind. Gegenbeispiel: Wir betrachten das Rechteck der Höhe BC=h und der Länge AB=L Es sei Fq^DAuBC und y=ABuCD, A=lh und

. . =f=<^

y - (0 < Й < oo), Çy = n.

A

BEISPIELE .

1 ) G sei ein beliebiges Gebiet, y eine geschlossene, konkave innere Randkurve (Fig. 17). In diesem Fall ist (py=(py=0 und Xi^njljlA,

2 ) G sei ein beliebiges Gebiet und y ein SchUtz im Innern von G (Fig. 18).