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HELMUT OROEMER

Es sei nun s eine affine Abbildung des R" auf eine A:-Ebene Я, wobei к einen der Werte 0, 1,2,...,« haben kann. Ähnlich wie bei Projektionen lässt sich zu 5- eine für die approximierbaren Funktionen definierte Transformation а erklären. Man merke dazu, dass s~^{x) für xeH eine («—A:)-Ebene ist und daher, wie aus der Definition der Approximierbarkeit unmittelbar folgt, für FeA" stets FAs~^{x)eA"~'^ sein muss. Analog zu (2) kann man daher durch

( aF ) { x ) = x{FAs-'ix)) (5)

eine auf Я erklärte Funktion aF definieren. Ist s insbesondere eine Projektion des i?" auf H, so stimmt (5) mit (2) überein. a werde die zu s gehörige formation genannt. Ist k = n, also H=R* und demnach s nicht singular, so ist s~^{x) ein Punkt und daher x{^^s~^(x)) = F(s~^(x)). Anstatt (5) kann daher in diesem Falle die transformierte Funktion aF durch

( <Tf ) ( x ) = F(5-»W) (6)

definiert werden.

3 .

Der folgende Satz enthält das Hauptergebnis dieser Arbeit.

SATZ 1. Bedeutet s eine affine Abbildung des R" auf eine k-Ebene Я (A: = 0, 1,... n), so gibt es genau eine Abbildung а der im R" definierten approximierbaren Funktionen auf die auf H definierten approximierbaren Funktionen (als Funktionen im R^ aufge- fasst), so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

( a ) a ist linear,

( b ) (T ist stetig, d.h. aus F„=>F(F„eA", FeA") folgt (TF„=>aF.

( c ) a stimmt für kompakte konvexe Polytope (repräsentiert durch deren teristische Funktionen) mit der üblichen durch s definierten affinen Abbildung überein.

Ausserdem hat die Abbildung a noch die Eigenschaft, dass sie durch (5) definiert werden kann und dass

x { aF ) ^x { F ) (7)

gilt .

Es ist noch zu bemerken, dass in (7) links die auf A* und rechts die auf A" definierte Charakteristik gemeint ist.

Die Beziehung (7) enthält u.a. sowohl die Invarianz gegenüber isometrischen Transformationen wie auch die durch (4) ausgedrückte Projektionsinvarianz. Diese