234

Die Existenz einer Greenschen Funktion auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten

von Sebastian Keller, Basel

Ergebnisse

Auf jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit (Abkürzung: RMF) ist der Laplace- operator A erklärt; Lösungen der Laplacegleichung zlw = 0 heissen harmonische Funktionen. Greensche Funktion der RMF M (zum Aufpunkt qeM) nennen wir jede in M—{q] positive und harmonische Funktion g^, Vielehe in q die Singularität

hat ; dabei bedeutet n die Dimension von M, s{p, q) die geodätische Distanz auf M (für w = 2 ist s{p,qY~'' durch —\ogs{p,q) zu ersetzen). Die Existenz bzw. Nicht- existenz einer Greenschen Funktion ist eine vom Aufpunkt q unabhängige schaft der RMF M, welche unter isometrischen Abbildungen von M invariant bleibt. Es stellt sich die Frage, welchen Einfluss das Verhalten von geometrischen Grössen wie der Riemannschen Schnittkrümmung auf diese Eigenschaft einer RMF hat. auf bezieht sich das folgende Hauptergebnis dieser Arbeit:

SATZ A. Auf einer einfachzusammenhängenden vollständigen RMF M mit mension n und Schnittkrümmung К existiert eine Greensche Funktion

1 ) wenn К durch eine negative Zahl nach oben beschränkt ist,

2 ) wenn К nirgends positiv und w ^ 3 ist.

Im Fall 2) kann man auf die Bedingung n'^3 nicht verzichten, wie das Beispiel der komplexen Ebene zeigt.

Eine Riemannsche Fläche besitzt genau dann eine Greensche Funktion, wenn das harmonische Mass der Fläche nicht die Nullfunktion ist. Dieses Kriterium gilt unverändert auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten (Satz 3.2) und dient als punkt des Beweises von Satz A. Wenn das harmonische Mass einer RMF M die funktion ist, so wird auch der Limes der Dirichletintegrale D{uk) der gegen das harmonische Mass konvergierenden Folge u^ gleich null (Satz 3.3). Demnach gilt es, für die Integrale D(uk) eine positive untere Schranke zu bestimmen. Wir verwenden dazu die Idee von Szegö [9] zur Abschätzung der Kapazität eines Kondensatos im euklidischen R^. Bei der Übertragung auf die RMF M stellt sich das Problem, für die im R^ gültige isoperimetrische Ungleichung, die in der Szegöschen Abschätzung eine entscheidende Rolle spielt, und in welcher die spezielle Geometrie des R^ zum