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CHRISTOPHE BAVARD

Figure 1

s'identifie (vu sur S^) à la boule de S^ de rayon Ъ et centrée au pôle nord. Posons alors

In

mesure sur les y g dont on vérifie que *^ est la mesure d'aire de M^. Il en résulte que K^ est minimale. Le paramètre j8, qui repère la classe d'équivalence conforme de K}", varie de jîi = 2 log ( 1 + ^Jl) à JS2 = 2 log (2 -f ,/3) quand è varie de %\^ à тг/З.

Les valeurs de jî appartenant à ]7t/2, j?i[u]j82» Qo[ échappent à la description ci-dessus. En fait, la classe conforme de chaque K^ correspondant admet une métrique minimale, dont la géométrie, en partie plate et en partie sphérique, est un mélange des deux exemples précédents (voir [Ba]i).

4 . 3 . On trouvera dans [Ba]2 la description complète des inégalités isosystoliques conformes pour 15 des 17 groupes crystallographiques du plan.

4 . 4 . Des métriques minimales sur les surfaces

Dans [Gr] 5.6.B', M. Gromov construit des surfaces isosystoliques comme suit. On se donne un graphe métrique compact G. A chaque arête a de G est associé le cylindre plat Q = R/Z x a; en chaque sommet de G on numérote arbitrairement les arêtes a,,..., % (fc > 3) qui le contiennent, et on associe à ce choix un graphe formé de deux sommets joints par k arêtes ai,..., a^t de longueur 1/2. Puis on recolle les cylindres Q en identifiant isométriquement, pour chaque sommet p de a, le bord R/Z X {/7} avec a, иа, +1, où i est le numéro (modulo к) de l'arête a en p (voir Figure 2). Le résultat est une surface plate singulière Eq, ayant deux singularités d'angle kn pour chaque sommet de G de valence k. Le genre de Iq est égal au nombre de cycles indépendants de G,

Si la systole de G est supérieure ou égale à 1, /a surface Iq est minimale. En effet, les sections des cylindres C« sont systoliques, paramétrées par G, et le critère de minimalité est vérifié pour la mesure de longueur de G.