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KLAUS LANGMANN

Wegen (*) ist deshalb

M®R2 = (f,,.. ,A)i?2 = (/?,... Jt)R2="M®R,,

Damit ist die erste Aussage gezeigt. Da bei R2 ^ R\ treuflach aus M ® i?2 = M (g) i?2 schon M = M folgt, ist auch die zweite Aussage bewiesen.

Mit Satz 1.3 können wir insbesondere algebraische Aussagen auf den chen Fall zurückführen und bekommen damit bessere Schranken als die meinen algebraischen Abschätzungen [1], Satz 1 (dabei bezeichnet "algebraisch holomorph auf X'' bzw. "algebraisch auf X" eine Einschränkung eines Polynoms bzw. einer rationalen Funktion auf X)

FOLGERUNG 1.4. Sei X c:C" eine quasiprojektive, im C" abgeschlossene Un- tervarietät. S czX sei eine kompakte Menge mit

S = 5^-:= {x 6 X\ \f{x)\ <. Max |/(z) I für alle in X holomorphen/}.

z e s

( a ) Bezeichnet R den Ring der auf X algebraischen und auf S holomorphen Funktionen

f / R = R(S) ••=<-; f g auf X algebraisch holomorph, und g(z) ^O^z e S

u

so gelten für jeden endlich erzeugten R-Modul M die verschärften Forster sehen Abschätzungen

\M\^< . Max [|M^U^+«^(M)-1],

m e Max Spec R

wobei

n^ ( M ) := Max (1, dim^ {m e Max Spec R; \M^ |^^ ^ \M^ \„^}).

( b ) Besitzt S eine Umgebungsbasis von zusammenziehbaren Steinschen faltigkeiten, so ist jeder endlic^ erzeugte projektive R-Modul M schon frei.

Beweis . Ist / = (/,,... ,fk)R ein echtes Ideal in R mit oBdA in X holomorphen algebraischen Funktionen /1,... ,Л und hätten die /1,... ,/д, keine gemeinsame Nullstelle in S, so gäbe es nach [4], 7.2.1 wegen S = §x schon in X holomorphe Funktionen gu .. ,gk mit Zf=,ifg, = 1. Da wir die g^ auf S beliebig gut durch auf X algebraische holomorphe Funktionen g, approximieren können, wäre dann