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II A 10 Theorie der Kugelfunktionen

Schïafli^^ ) benutzt; dessen Aibeit neben der DarsteUung der einfachen Kugelfunktionen eine Erweiterung derselben enthalt (vgl Nr 26)

6 . Integralsätze, Entwicklung ganzer Potenzen nach funktionen, Rekursionsformeln. Falls irgend eine Funktion von x m eine nach Kugelfunktionen fortschieitende, gleichmassig konveigente Reihe entwickelt werden kann (über die Möglichkeit einer solchen Entwicklung s Nr 15 u 16)^ so ergeben sich die Koeffizienten der Entwicklung mittelst der folgenden beiden^ m diesei Form zuerst von Legendre^^) aufgestellten Satze Es ist + 1

( 12 ) fP''(x)P^^\x)dx = 0, falls m ^ n,

- 1 wahrend

+ 1

( 12a ) Jp-{x)F\x)dx= ^Д-^

- 1

ist Hieraus folgt^ dass^ wenn f{x) sich m eine Reihe von der Form

f ( x ) = A,F\x) + A,F\x)+ +Аг'РК«^) +

entwickeln lasst^

+ 1

( 12b ) A^ = ^l±ljf(^jc)pn(^^)clx

- 1

ist Man kann voi stehende Reihe ohne weiteres auf die Entwicklung ganzer Potenzen von x anwenden, da diese, wie aus der Reihe (4) folgt^ sich durch eine endliche Summe von Kugelfunktionen drucken lassen, somit auch auf beliebige ganze Funktionen von x. Fui ganze Potenzen hat Legendre^^) gefunden:

1 2 n

( 13 )

+ (2..-7).^^- + ;)(;-^)p--4^)+...}.

Ferner ergiebt die Entwicklung von xF"(x) die wichtige Rekursions- formeF'):

| ( w + 1)Р«+1(ж) — (2w + 1)жР"(а;) + wP«-i(a;) = 0, ^ ' 1 F\x) - xF\x) = 0,

24 ) ScMafli, Kugelff mit bei Parameter (s das Yerzeiclmis der Mono- graphieen)

25 ) Par Hist 1784, p 373 und 1789, p 384

26 ) Par Hist 1784 und Exercices 2, p 352

27 ) О Bonnet, J de math 17 (1852), p 267