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entwicklungen , die nur längs einer Linie gelten. In besonderen Fällen lassen sich die betreffenden Formeln auf die Legendre^sche Relation zwischen den Periodizitätsmoduln elliptischer Integrale reduzieren.

39 . Hinweis auf Hermite's Untersuchungen betreffs der Lamé- schen Gleichung. Die Lamc'sche Differentialgleichung (57a) lässt sich auf die Form bringen:

wo sn die I\inktion sinus amplitudo bezeichnet. Im Vorstehenden sind die Integrale dieser Gleichung untersucht unter der Voraussetzung, dass eines derselben eine ganze Funktion von smi ist; und das ist der Fall, wenn h entsprechend bestimmt wird. Ch. Hermite^^^) hat an (57 b) eine neue Aufgabe geknüpft, nämlich das allgemeine Integral dieser Gleichung für den Fall zu bestimmen, dass h beliebig ist, w'àh- rend n noch eine ganze Zahl bezeichnet. Betreffs dieser Untersuchungen und der sich daran anschliessenden verweisen wir auf die Artikel: Lineare Differentialgleichungen und elliptische Funktionen.

40 . Lamé'sche Funktionen höherer Ordnung ^^^). Ist

/ ^ 4-k N. -I X ci OD 1 a ÛC

SO ist jede ganze Funktion von уЪ, Ух — öfi^-*'; У^ — <^^,? welche einer Differentialgleichung von der Form:

( 63a ) '^4.<^(^)Ж=0

genügt , eine iame'sche Funktion erster Art, p^^^ Ordnung und n^^^ Grades, ^(^x) ist dabei eine ganze Funktion ^on ^r von der schaffenheit, dass (63 a) eine Lösung zulässt, die eine ganze Funktion von X ist. d'^x) ist vom Grade p — 1. Die Anzahl der verschiedenen Funktionen '0' und damit die Anzahl der verschiedenen Lame'schen Funktionen, die zu gegebenen Werten von n und p gehören, ist genau so gross wie die Anzahl der willkürlichen Konstanten in der

132 ) Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques, Par. С. R. 85 (1877), p. 689, 728, 821 ff.; auch sep. Paris 1885.

133 ) Heine, J. f. Math. 60,61,62, (1862 u. 1863); Berl. Ber. 1864; H. B. 1, p. 445 ff. — Übrigens sind die Xar>?e'sehen Funktionen mit einer beliebigen Zahl von Veränderlichen schon von G. Green behandelt, Camb. Trans. 5 (1835), papers p. 185, und zwar ohne Benutzung verallgemeinerter elliptischer Koordinaten; nur die durch die Gleichungen (54 b) und definierten Variabein werden gelegentlich benutzt. — Vgl. auch Cayley, Lond. Trans. 165 (1875).