968 П А 12. H. Burkhardt. Trigonometrische Reihen und Integrale.

deren Fourier sich zunächst zur Ableitung seiner Resultate bedient hatte, doch wohl bedenklich vorgekommen.

28 . Exkurs betr. die Entwicklung des Begrijffs einer lichen Punktion. In Ergänzung des bereits II A 1, Pringslieim, Nr. 1—5 Gesagten sei noch erwähnt: Zwar hätte eigentlich schon die Formulierung der Fundamentalsätze der Differential- und nung auf die Frage führen müssen, wie der Umfang des Begriffs Funktion zu umgrenzen ist, wenn diese Sätze allgemeine Gültigkeit behalten sollen. Indessen ist die Begriffsbildung tatsächlich nicht von dieser allgemeinen Frage ausgegangen, sondern von der speziellen, was die Wendung besagt: das Integral einer partiellen Differentialgleichung enthält nicht nur willkürliche Konstante, sondern auch willkürliche Funktionen. J. d'Älembert^^^) hielt an der Auffassung fest, daß das den Anfangsbedingungen

( 485 ) y = Ф{х) + W{x), Il = Ф\х) — W'{x)

genügende Integral der Differentialgleichung (481) in der Б'огт (482) nur einen Sinn habe, wenn sich Ф und ebenso 4^ für alle Werte des Arguments durch denselben analytischen Ausdruck darstellen läßt; L. Euler^^^) dagegen betonte, daß die Gleichung (484) für jedes be-

sont developpables" (théorie de la chaleur, p 186). Auch G Frullani bemerkt im Anschluß an seine Diskussion des in Nr 24 erwähnten Paradoxons (mem. soc ital 18 (1820), p. 493), die Koeffizientenbestimmung durch gliedweise Integration setze voraus, daß das Integral des Restgliedes Null sei. Vgl auch die Äußerungen von G. de Pontécoulant (théorie analytique du système du monde 3, Paris 1834, p. 110): „la méthode . . . s'appliquerait ... au développement de toute fonction, donnée ... du moment qu'on est d'avance assuré que cette fonction peut être exprimée par une semblable série"; von Ch. Sturm (j. de math. 1, 1836, p. 411): „Fourier et d'autres géomètres semblent avoir méconnu l'importance et la difficulté de ce problème [des Möglichkeitsbeweises] qu'ils ont confondu avec celui de déterminer les coefficients'' ; von Ä. A, Cournot (traité de la théorie des fonctions 2, Paris 1841, p 211): „selon la juste remarque de M Poisson, la méthode . . . repose sur une hypothèse qui a besoin d'être démontrée et qui consiste à admettre qu'une fonction quelconque peut se développer . . .".

661 ) Berl. hist. 1747[49], p. 214; 1750[52], p. 358; Opusc. math. 1, Paris 1761, p. 29; 4 (1768), p. 134; 5 (1768), p 138. — Die Frage, welcherlei Rechnuiigs- operationen bei der Bildung eines solchen analytischen Ausdrucks zulässig sein sollen, hat d'Alembert nicht beantwortet, nicht einmal sich gestellt.

662 ) Berl. hist. 1748[50], p. 69 = N. acta erud. 1749, p. 512; Berl. hist. 1753[5ô], p. 217; 1765[67], p. 307; Taur. misc. 3^ (1762/6ô[66]), p. 1; Petrop. n. comm 11 (1765[67]), p. 6; 17 (1772[73]), p. 381; Instit. cale, iutegr. 3 (1770), p. 237; Petrop. acta 17792[83], p. 116. — Die Frage, inwiefern durch eine nur graphisch gegebene Kurve eine Funktion arithmetisch bestimmt sei, ist damals nicht geötellt worden