52 . Übergang von der trigonometrischen ßeihe zum Fourierschen Integral. 1087

Durch Anwendung derselben Betrachtungsweise auf die für ein vall (— ЛГ • • • -f ^) geltenden, Glieder beider Arten enthaltenden Reihen kommt S. D. Poisson^^^^) zu der für alle reellen x geltenden Formel:

00 00

( 792 ) f(x)=^f(f{a) cos(|« — |«)f7«d|.

0 —00

Fourier^^^^^ ) leitet diese durch folgende Überlegung aus seinen beiden Formeln ab: ist f(x) eine gerade Funktion, so gilt (790) auch für negative Xj dagegen ist die rechte Seite von (791) in diesem Falle gleich — f(x) ; für eine ungerade Funktion verhält es sich umgekehrt. Andererseits kann man in beiden Integralen die Integrations variable a durch — cc ersetzen und die so entstehenden Gleichungen dann mit den ursprünglichen verbinden.

Da in (792) unter den Integralzeichen eine gerade Funktion von è, steht, kann man auch schreiben ^^^^):

+ 00+00

С^ЭЗ ) ff^x) = -^^- f ff{a) cos{^x - ^tt)dadt

— 00 —oo

In einer anderen Abhandlung ^^^^) gewinnt Ä. Cauehy die formel, indem er zunächst für den FaU, daß x ein ganzzahliges Viel-

Beihenfolge zu schreiben wie die zugehörigen Integralzeichen, so daß jedes Integralzeichen zusammen mit seinem Differentialzeichen zugleich die Stelle einer Klammer vertritt und nach der allgemeinen Klammerregel die innerste tion die zuerst auszuführende ist. — In der Zeit Fouriers ist übrigens von der Unterscheidung der Integrationsreihenfolge bei Integralen mit konstanten Grenzen überhaupt nicht die Rede; vgl. Nr. 29.

1254 ) Preisschrift von 1811, Paris mém. 4 (1819/20[24]), p. 492; théorie Nr. 353 = Oeuvres 1, p. 399.

1255 ) J. éc. polyt. cah. 18 (1820), p. 429; 19 (1823), p. 47, 452. An den früheren Stellen bull, philomat. (1815), p. 165 und Paris mém. 1 (1816[18]), p. 85 gibt er nur die in Nr. 54 zu besprechende Modifikation. — In den Formeln von Л. Cauehy, Paris mém. prés. 1 (1827) == Oeuvres (1) 1, p. 144 (Preisschrift von 1815) ist die Zusammenfassung von (789) zu (790) nur implizite enthalten.

1256 ) Théorie Nr. 354 = Oeuvres 1, p. 400 (noch nicht in der Preisschrift von 1811). Ebenso Poisson^ j. éc. polyt., cah. 19 (1823), p. 455 und Cauehy, bull, philomat. 1818, p. 179; Paris mém. prés. 1 (1827) = Oeuvres (1) 1, p. 301. Den Rückweg von (792) zu (790) und (791) erörtert ausführlich Л. Pioch, Brux. mém. cour, in 4«, 15 (1841/42), p. 34.

1257 ) Diese Form tritt bei Fourier théorie Nr. 404 = Oeuvres 1, p. 475 unvorbereitet auf, während er vorher immer nur die anderen gebraucht hatte. Die Begründung gibt G. Piola, mem. soc. ital. 20^ (1831), p. 599.

1258 ) Paris mém. 22 (1850) (von 1824) = Oeuvres (1) 2, p. 198.