69 , Paare reziproker Funktionen.

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und führt durch die Substitution i^ = |Ç an Stelle von rj die neue Integrationsvariable g ein; die Integration nach ^ läßt sich dann mentar ausführen, die noch bleibenden Integrale in bezug auf Ç hatte bereits Euler bestimmt; so kommt

( 912 ) r(l-a)t{a)= - ' ^^ - ^ ^,

( ^^^"2- '"' 2 )

was mit dem Falle r = 0 von (909) übereinstimmt, wenn noch F(l — a) durch r(a) ausgedrückt wird. Später ^^'^'^) leitet er noch für die beiden Integrale (909) durch partielle Integrationen die simultanen gleichungen her:

^Q^ ,,4 dy __ X dz ^. a dz __ x dxj ^ a

^ ' ^ dx r dx ^ r ^ dx r dx '" r '^

und integriert sie, indem er arc tg x als unabhängige Veränderliche einführt.

Bei Fourier finden sich die allgemeinen Gleichungen (909) nicht, sondern nur als Resultat der Anwendung des Reziprozitätssatzes auf die Funktion x~^ die Relation zwischen zwei bestimmten Integralen ^^'^) :

00 00

( 914 ) A»-i sinx^di ■ /V" sinxi.dl, = 1 x ,

О о

die nur für а = -, wo beide identisch werden, ihren gemeinsamen

Wert bestimmt.

Seine Rechtfertigung findet der Gebrauch komplexer Größen bei diesen Umformungen durch A, Cauchys allgemeinen Satz^^^^): wenn

zeigt auch, daß man die Reihenfolge der Integrationen hier in der Tat tauschen darf.

Sarrus (ib. p. 257) will die Benutzung komplexer Größen durch die merkung rechtfertigen, sie sei immer erlaubt, wenn man die Differentiation des Integrals nach dem Parameter unter dem Integralzeichen ausführen dürfe.

1377 ) J. Ec. polyt. cah. 16 (1813), p. 215; reproduziert von Lacroix, Traité 3 (1819), p. 490. P. PaoU (Mem. soc. ital. 20 (1828), p. 162) bemerkt dazu mit Recht, man könne auf die Einführung dieser Integration s variabein nur verfallen, wenn man das Resultat schon kenne; er zeigt, wie man durch Multiplikation mit —y, z, bzw. z, y und Addition Kombinationen erhält, die sich unmittelbar integrieren lassen. Ebenso M. Ohm, System der Mathematik 9, Nürnberg 1852, p. 122. 0. Schlömüch, analytische Studien 1, Leipzig 1848, p. 65 faßt die beiden Gleichungen zu einer für y + iz zusammen; ebenso Ohm p. 115.

1378 ) Paris mém. 4 (1819/20[24]) (Preisschrift von 1811), p. 502; Théorie de la chaleur Nr. 360 = Oeuvres 1, p. 406.

1379 ) Paris mém. prés. 1, 1827 (von 1815) = Oeuvres (1) 1, p. 350; die Zu-