1168 III A В 9. M. Zacharias. Elementargeometrie.

Es ist klar, daß unter gewissen Einschränkungen die metrischen schaften beider Raumformen dieselben sind.^^^^)

Die Stelle der Parallelen der euklidischen und hyperbolischen Geometrie vertreten gewisse Geraden, die zuerst von W. K. Ch'fford^^^^) untersucht und nach ihm Cliffordsche Parallelen genannt worden sind.^^^^) Sie können als gerade Linien definiert werden, deren Punkte von einer gegebenen Geraden gleichen Abstand haben. In einer und derselben Ebene mit der gegebenen Geraden kann eine solche Gerade gleichen Abstands nicht liegen; das ist nur in der parabolischen metrie möglich. Sind r und s zwei windschiefe Geraden und ÄÄ' und BB' zwei gleich lange Lote von r auf s, so folgt daraus zunächst, daß auch <^ Л == ^ В = IB, ÄB== AB' und <^ AB'А = ^B'AB ist. Für die dreiseitige Ecke Л gilt, unabhängig von jeder setzung über die Parallelen, die Ungleichheit

<^ А AB' -r <^ B'AB > <^ AAB'^

mithin ist in dem Dreieck А AB' die Summe der spitzen Winkel > 1Л. Die windschiefen Parallelen können also nur in der elliptisch- sphärischen Geometrie existieren. Daß es in dieser derartige allelen wirklich gibt, ist bei der KleinBchen Interpretation leicht zu sehen: Die Normalebenen einer Geraden r schneiden sich in der in bezug auf die Fundamentalfläche konjugierten Geraden S] r und s sind windschief, und jeder Punkt von r hat von jedem Punkt von s dieselbe Entfernung. Ist AB eine beliebige Strecke von r, die kleiner als die Halbgerade ist, und AB" die entsprechende gleich lange Strecke von .s, so sind A A und В В' zwei Cliffordsche Parallelen.

Die wichtigsten Eigenschaften dieser Parallelen sind weiterhin besonders von P\ Klein^^^^) angegeben worden. Durch jeden nicht auf der Polare einer Geraden r liegenden Punkt gehen zwei dene Parallelen, deren Winkel doppelt so groß wie der Abstand von r ist. Da diese beiden Parallelen durch gewisse rechts- bzw. drehende Schraubenbewegungen mit r zur Deckung gebracht werden können, kann man sie als „rechtsseitige" und „linksseitige" Parallele unterscheiden. Zwei Parallele bilden mit jeder Transversale gleiche Gegen- und Wechselwinkel; es gibt windschiefe Parallelogramme, d. h.

1137 ) Bonola, Nichteuklidische Geometrie, p. 159.

1138 ) Clifford, Lond. Math. Sog. Proc. 4 (1873), p. 381; Math. Papers Nr. 20, p. 181; Nr. 42, p. 385.

1139 ) Vgl. zu dem Folgenden Bonola, Nichteuklidische Geometrie, p. 195 ff.

1140 ) Klein, Math. Ann. 37 (1890), p. 544; Vorlesungen, 2, p. 253f.