25 . Dreipolkoordinaten. Tripolar zugeordnete Punkte. 1213

aufgäbe , zu gegebenen Größen q^ = ()/ den zugehörigen Punkt P zu bestimmen, hat sich schon Newton^^^) beschäftigt. Sie hat zwei Lösungen. Bei Verwendung von kartesischen Koordinaten^^^*) (Nr. 16) erkennt man nämlich leicht, daß der gesuchte Punkt auf drei Kreisen eines Büschels liegen muß. Das sind die Apollonischen Kreise (Nr. 48),

welche die ürseiten a^ in den betreffenden Verhältnissen -*, teilen. Die

_____________ Qi

punktes Ç, so ist (1) die Gleichung eines -— innerhalb des ersten Oktanten legenen — elliptischen Paraboloides JT. Dieses berührt die Koordinatenebenen, seine Achse ist die Mittellinie {q^ =q^ = Ss), und sein Scheitel hat den Abstand Б* vom Anfangspunkt 0.

Vermöge П werden die Kreise К der Д-Ebene auf die Schnitte (Ellipsen und Parabeln) von JI mit den Ebenen des Raumes abgebildet; im Besonderen entsprechen, als ausgearteten Kreisen, den Punkten (Nullkreisen) die ebenen, oder auch deren Berührungspunkte, den Geraden die Parabeln auf Л» Ist К ein eigentlicher Kreis, so konstruiert man das Bild seines Mittelpunktes, indem man die durch den Pol der Bildebene zur Achse gelegte Parallele mit П schneidet. Die Orthogonalitätsbedingung für zwei Kreise geht über in die Bedingung, daß deren Bildebenen in bezug auf П konjugiert sind. Zwei tripolar zugeordneten Punkten der Ebene entsprechen auf П zwei mit 0 inzidente Punkte

3

^st ^h^i-hK^^^ ^i® Grleichung von K^ so werden die l^, X^ die homogenen

Koordinaten der Bildebene. Die Klassengleichung von П muß daher stimmen mit der gleich Null gesetzten Punktinvariante (Anm. 73 a) П von K:

Das Paraboloid JI wird dann und nur dann ein Rotationsparaboloid, wenn s^ = s^ == S}, d. h. für ein gleichseitiges Urdreieck Л. Dann lassen sich Ebene und Paraboloid in direkte geometrische Beziehung setzen, indem die Kreise der Ebene als die senkrechten Projektionen der ebenen Schnitte von П erscheinen, und der Mittelpunkt Uq von U als Scheitel, wobei der Parameter p von JI von selbst gleich E^ wird.

Umgekehrt , sobald es nur auf die Abbildung der Kreise J^*ankommt, so beschreibe man U irgendein gleichseitiges Dreieck ein, und wähle dieses als Koordinatendreieck Л. — Die ganze Entwicklung läßt sich auf die tetrapolaren Koordinaten des Raumes übertragen.

136 ) Nach Schulz v. Strasznicky, Das geradlinige Dreieck, p. 6, in Arith- metica universalis. Über die Aufgabe vgl. auch ein Progr. Gymn. Torgau 1888 von Я. M. Götting.

136 a) Ebenso einfach operiert man mit normalen Dreieckskoordinaten x^. Da sich die Nullkreisformen M^ ^ a?^^ -f ж^^ + ^^k^i^i ^^^ Ecken Л^ verhalten wie die SjS^^, so hat man zur Bestimmung der beiden Punkte P^iq/) nur die

Determinanten der Matrix

M , M, M,

gleich Null zu setzen. Für den

besonderen Fall qi'Si^ == q^'s^^ = q/s^^ entstehen die Apollonischen Kreise im engeren Sinne (Nr. 48).