21 . Zerlegungsrauroe

179

stetiges Bild des zerlegten Raumes 5R, wenn man einen beliebigen Punkt X aus 9Î und em Element ^ aus $R* einander in einer bildung ^ = f{X) zuordnet, sobald X in 3) liegt Haben die mente der Zerlegung einfache Eigenschaften, so kann man aus schaften des zerlegten Raumes auf solche des Zerlegungsraumes schließen So gilt unter anderem: Wird die Kugelliäche oberhalb stetig m lauter einfach zusammenhängende Kontin ua zerlegt, dann ist der Zerlegungsiaum mit der Kugelfläche honiöomorph.^^"') So liefert eine eindimensionale obeihalb stetige Zerlegung (d h eine solche, durch welche ein eindimensionaler^^'^') Zerlegungsraum steht) der Kugelflache in Iduter Kontin ua als Zerlegungsraum einen Baum.-^®^) So laßt eine eindeutige stetige Abbildung eines kompakten metrischen Raumes 9Î, bei der alle Gesamturbilder die ersten n sammenhangszahlen 0 haben, die ersten n Zusammenhangszahlen von 9Î ungeändert ^^^) umgekehrt läßt sich vom Zeilegungsraum und den Elementen der Zerlegung auch auf den zerlegten Raum schließen. So ist ein kompakter metiischer Raum höchstens {n -f- m^ dimensional, wenn er m lauter höchstens n-dimen&ionale Mengen so zeilegt werden kann, daß der Zerlegungsraum m-dimensional ist.^^^) Da die (von selbst oberhalb stetige) Zerlegung eines kompakten metrischen К au mes in seme Komponenten^^^^) einen O-dimensionalen Zeilegungsraum lie fert^^^), hat jeder r^-dimensionale kompakte metrische Raum stens eine n dimensionale Komponente

Jeder kompakte metrische Raum 9Î ist stetiges Bild jeder fekten O-dimensionalen Menge, insbesondere der Гап;^о> sehen Drei teilungsmenge^^*), d. h kann als Zerlegungsraum derselben gemäß einer oberhalb stetigen Zerlegung erhalten weiden, msbesondeie hat SR eine Dimension ^ n, wenn jeder Punkt von 9î höchstens (n -j- 1) Urbilder

105 ) B. L Moo^e, 1. с ^^^) Er spricht den Satz als Satz über die Eukh di^che Ebene aus Vgl noch i?. X Жоо/е, Monatsh. Math Phys 36(1929), p 81—88, С KuratowsU, Fund math. 14 (1929), p 143

106 ) Dieser BegiitF, sowie die sogleich folgenden des Baumes und der w dimensionalen Menge (n^—1) werden in Nr 41, 42 erklart.

107 ) L Vietoris, 1 с i<>^).

108 ) L Vietoris, Proc Amsterdam 29 (1926), p 1008 -1013; Math Ann. 97 (1927), p 454—472

109 ) Fur m = 0 bei L lumarlm, Proc Amsterdam 28 (1925), p 1000—1001, allgemein bei W Hurewicz^^^^), p. 163

109a ) Komponenten = umfassendste zusammenhangende Teile, s. Ilaus- dorff, Grundz , p 245 Über „Quasikomponenten" siehe ib p 248 und ^S' Fointnu, Monatsh Math. Phys 35 (1928), p. 235—238

110 ) P Alexandioff, Proc Amsterdam 28 Г1925), p 999; Math Ann. 96 (1926), p 570