30 in с 1. Friedrich Dingeldey. Kegelschnitte und Kegelschnittsysteme.

die homogenen Koordinaten Ä^^, ^23? ^33 ^^^ Mittelpunktes ein- setzt. Man erhält tg « = + _^ -^ , oder mit Rücksicht auf (22)

— i"_tf ; woraus nach (26) folgt, dass tg а nur von dem Verhältnis

а : Ъ der Axen abhängt (vgl. auch Nr. 3). Kegelschnitte, für die dieses Verhältnis dasselbe ist, heissen ähnlich] sie haben offenbar auch gleiche numerische Exzentrizität, und umgekehrt. Somit sind alle Parabeln (Nr. 4) einander ähnlich. Tritt zur Ähnlichkeit noch gleiche Axenrichtung, so sind die Kurven auch ähnlich liegend (homothetisch bei Chasles, Ann. de math. 18 (1828), p. 280); zwei solche Kegelschnitte haben selben unendlich fernen Punkte. Bei rechtwinkligen Koordinaten sind alsdann die Koeffizienten der entsprechenden Glieder 2. Grades in den Kurvengleichungen einander proportional, und umgekehrt^^).

17 , Weitere Sätze über konjugierte Durchmesser. schriebene oder eingeschriebene Parallelogramme. Mit Hülfe der auf irgend zwei konjugierte Durchmesser als Koordinatenaxen bezogenen Gleichung (Nr. 10 und 11):

( ^1 ) ^±'^-^

einer C^ lassen sich leicht zwei Sätze herleiten, die schon Apollonius^^) durch planimetrische Betrachtangen gefunden hatte. Es sind folgende: 1) Alle Parallelogramme, deren zwei Paare von Gegenseiten durch die in den Endpunkten zweier konjugierten Durchmesser gezogenen Tangenten gebildet werden, haben gleichen Inhalt, der also mit dem Inhalt des Rechtecks der Scheiteltangenten übereinstimmt. 2) Bei der Ellipse ist die Summe der Quadrate zweier konjugierten Durch-

86 ) Bezüglich der oben angegebenen Bedingungen für Ähnlichkeit mit oder ohne ähnliche Lage vgl. Salmon^ „A treatise on conic sections", Dublin 1848, p. 190—194, oder Salmon-Fiedler^ p. 406—411; für beliebige Dreieckskoordinaten Gtmdelfinger^ Vorl., p. 290 ff. Die Gl. eines Kegelschnitts Jc^ der zu f{x^ x) = 0 ähnlich und ähnlich gelegen ist, lässt sich in die Gestalt ЯДж, x)-\-p^'Ç[^= О bringen, wo X einen Zahlenfaktor, p^ = 0 die unendlich ferne Gerade, q^ == 0 die Verbindungslinie der zwei im Endlichen liegenden Schnittpunkte beider Kurven bedeutet. Die Ähnlichkeit aller Parabeln war schon Archimedes bekannt (Schrift über Konoide und Sphäroide in Opera omnia, ed. J. L. Heiberg, Bd. 1, Leipzig 1880, p. 279; Übers, von F. Nizze, Stralsund 1824, p. 152; vgl. auch Apollonius Buch 6, § 11).

86 ) Buch 7, § 31 und § 12—13. Ihren tieferen Grund haben beide Sätze darin, dass J., F(p,p)^ [a, ю] Invarianten von f{x, ж), p^ und öj(w, w) (Nr. 14) sind; die ersten Spuren zu dieser Bemerkung finden sich bei G. Boole^ Cambr. math. J. 3 (1841), p. 11 f. und p. 106—119; Cambr. Dubl. math. J. 6 (1851), p. 87—106. Vgl. auch Plücker, Anal. Entлv. 1, p. 144 [IB 2, Nr. 1].