38 , 11 Allgemeine Modul , Ring und Idealtheorie

Zur Menge N* aller zwischen 3 ^*^^ К hegenden Bewertungsnnge gehört гп К der гп Nr 13 mit Hilfe des a-Idealsystems definierte Funktionalring,

Die mit Hilfe des Systems N* definierten Ideale Qn* werden im folgenden (im Anschluß an den Idealbericht^)) als Ъ-Ideale bezeichnet, und es wird dementsprechend а?,, I?,, Шь an Stelle von ün*, In*? Шм* geschrieben — Aus der Tatsache, daß jeder Hauptidealrmg em spezieller Multiplikationsring ist, und den Anfangsbetrachtungen von Nr 15 ergibt sich fast unmittelbar:

Die sämtlichen zwischen 3 ^^^^ К liegenden Bewertungsringe entsprechen umlbchrbar eindeutig den sämtlichen Primidealen von Ша=Шъ' Ist p ein bestimmtes ÎÏÏb-Primideal, В der zugehörige Bewertungsring aus K, so hat man einerseits В = (Шь)р Л К, wahrend andererseits der Bewertungsring (Шъ)р gerade den einzigen m К zu В gehörigen Kroneckerschen Funktional- ring darstellt ®^)

Damit ist die innere Bedeutung des Pruferschen Funktionalrmgs Ша = Шь fur den Integritatsbereich 3 aufgedeckt. Auch über die Menge der übrigen zu 3 lü. К gehörigen Funktionalnnge kann man jetzt leicht einen gewissen Überblick gewinnen. Jedes durch eine (der Gleichung 3 = А B^ genugende)

Bewertungsmenge N definierte Idealsystem In möge als em Wertidealsystem bezeichnet werden Dann zeigt man ohne nennenswerte Schwierigkeit:

Jeder zu 2 Ш К gehörige FunMionalring Ш Jcann durch em system In erzeugt werden, Ш = ÎÏÏn Wählt man dabei die Menge N lichst groß, so steht ÎÏÏn 'S^ N m genau demselben Verhältnis wie im Spezialfall

65 ) Hier ist der geeignete Platz, um kurz auf die schon in ^^) erwähnte Lorenzen sehe Halbgruppentheorie einzugehen Das System f^ mit den Elementen a, ß^ heißt Halbgruppe hinsichtlich einer assoziativen und kommutativen Operation X, wenn es mit (X und ß stets auch aX ß enthalt, und wenn aus ocX ß = ocXy immer ß =^y folgt Der Teilbarkeitsbegriff wird in Î) genau so erklart wie m der multiplikativen Halb gruppe der positiven ganzen Zahlen ^ heißt vollständig, wenn zwei beliebige Elemente immer einen größten gemeinschaftlichen Teiler besitzen Em Teilsystem a von fj wird Ideal genannt, wenn es gleichzeitig mit a stets auch aXß fur beliebiges ß enthalt, Primidealdefinition wie bei Ringen

Es sei nun 3 em ganz abgeschlossener Integritatsbereich mit dem Quotientenkorper К

Dann bildet die Menge aller formalen Idealbruche -r- (a und b endlich, ûa^bo) eine Halbgruppe Ça, wenn man Gleichheit und Multiplikation durch die Festsetzungen nïr = l\ falls (öl • b2)a = («2 • bi)a" bzw „ ^ X 5^ = -^ " erklart Die Elemente von f^a entsprechen offenbar umkehrbar eindeutig den ganzen Hauptidealen des Funktional rmgs Ша-, und es lassen sich infolgedessen alle fur Шц gültigen Satze m Satze über fia übersetzen und umgekehrt Insbesondere ergibt sich so, daß die zwischen 3 und К liegenden Bewertungsringe umkehrbar eindeutig den Primidealen der Halbgruppe ^^ zugeordnet werden können

Historisch ist noch zu bemerken, daß Idealtheorie (und zwar t?-Idealtheorie) m Halb gruppen wohl zuerst von J Arnold getrieben wurde {Arnold^^))