1 . Einleitung. — 2. Axiome 13, 3

Ringen , als Spezialfälle verhandstheoretischer Zerlegungssätze erhalten (Nr. 5 bis 7), Von diesen Untersuchungen aus gesehen erscheinen die Verbände als die allgemeinsten Bereiche, in denen die Zerlegungssätze der Gruppen- und Idealtheorie gelten.

Ohne Kenntnis der Dedekindschen Arbeiten hat Fritz Klein^) 1932 den Begriff des Verbandes wieder aufgestellt und als mathematischen begriff von ähnlicher Bedeutung wie den Begriff der Gruppe erkannt. Er hat vor allem die axiomatischen Beziehungen und die Verbände mit endlich vielen Elementen untersucht. Für ihn wie auch schon Dedekind war die Tatsache bestimmend, daß in der Logik in Gestalt der Booleschen Algebren*) seit langem mit Erfolg Verbände betrachtet werden. Diese Verbindungen zur Logik sind ebenfalls in letzter Zeit eingehend studiert worden. Die hungen zwischen den Booleschen Algebren und der Mengentheorie sind von G. Birkhoff'\mà Ж H. Stone (Nr. 10) geklärt worden; die Booleschen bren sind femer auf die Topologie angewendet worden (Nr. 11). Andererseits ist durch Stone gezeigt worden, daß jede Boolesche Algebra ein kommuta- tiver Ring ist; dadurch ist die Aussagenlogik und die Theorie der tiven Systeme von A. Tarsld rein algebraischen Hilfsmitteln zugänglich worden (Nr. 12).

Der dritte Anstoß, die Theorie der Verbände zu entwickeln, ging von der Geometrie aus. Die linearen Teilräume eines projektiven Raumes bilden einen Verband, wie zuerst K, Menger ^) erkannte. Die Untersuchung dieser bände, die „modular" und „komplementär" sind, führte zu einer neuen gründung der projektiven Geometrie (Nr. 13) und zur Entdeckung der tinuierlich-dimensionalen projektiven Geometrien durch J. von Neumann (Nr. 14, 15).

2 . Axiome. Eine Menge Л von Elementen a, 6, r, ... heißt ein Verband% wenn für ihre Elemente zwei Verknüpfungen a\J Ъ und а Г\ Ъ erklärt sind, die die folgenden Axiome erfüllen:

V 1'. Zu je zwei Elementen а und Ъ V 1". Zu je zwei Elementen а und Ь aus А gibt es stets ein eindeutig Ье- aus А gibt es stets ein eindeutig stimmtes Element c=a\J Ъ, die Ver- stimmtes Element c=a Г\ Ъ, den einigung von а und Ъ, in A, schnitt von а und Ъ, in A.

3 ) Math. Ann. 106, 114—130, 1932.

4 ) Die beiden wichtigsten Arbeiten von G. Boole sind: The mathematical analysis of logic, Cambridge 1847; An investigation of the laws of thought, London 1854. Einen kurzen Überblick über die spätere Entwicklung gibt Art. 1 {H Scholz).

6 ) Jber. DMV 37, 309—325, 1928

6 ) Die Bezeichnung stammt von F. Klein^). Weitere Bezeichnungen: Dualgruppe (Dedekind), lattice (Birkhoff), structure (Ore^, système de choses (Glivenko), logique ramifié (Moïsil).