2 . Axiome 13, 5

b ) Gilt für alle a, 6, с aus А

( D' ) а Vy (Ь Л с) = (а V Ь) Л (а W с),

so heißt А distributiv^). Das duale Gesetz (D") ist eine Folge von (D') und den Verbandsaxiomen. Jeder distributive Verband ist modular.

c ) Enthält А die Elemente e und n und gilt:

( K ) Zu jedem а gibt es wenigstens ein Element a' in А (ein Ытр1етеп- täres Element ^u a), so daß

а Г\ а' = n, a\J а' = e

isty so heißt A komplementär. In distributiven Verbänden gibt es höchstens ein komplementäres Element a' zu a,

d ) Ein distributiver und komplementärer Verband heißt eine Boolesche Algebra oder ein Boolescher Verband.

Endliche Verbände lassen sich in einfacher Weise durch Streckenkomplexe darstellend^). Die Elemente werden durch Punkte der Ebene dargestellt. Ist a Cb, und gibt es kein x mit a С ^ С ^? so wird Ъ oberhalb von а net und mit а durch eine Strecke verbunden.

Abb . 1 stellt einen nichtmodularen Verband dar, da zwar с С a, aber € \J (b Г\ a) = с von (c\J b) Г\ а = а verschieden ist. Der Verband ist ferner komplementär. Abb. 2 gibt einen modularen, nicht distributiven Verband wieder (es Ы a\J (b Г\ c) = а =^ (a\J b) Г\ (a\J с) = e). Abb. 3 stellt einen distributiven, nicht komplementären Verband dar {a hat kein Komplement). Abb. 4 zeigt die Boolesche Algebra mit vier Elementen.

Als vollständig'^^) wird ein Verband bezeichnet, für den statt W 4', W 4" die schärferen Axiome:

9 ) Dualgruppen vom Idealtypus bei DedeJcind, arithmetic structures bei Ore, С- tices bei BirJchoff. Zu (D) äquivalente Formulierungen bei G. BirJchoff', Proc. bridge philos. Soc. 80, 115—122, 1934.

10 ) Ygl. F. Klein, Math. Ann. 111, 596—621, 1935 und G. Birkhoff, Proc. Cambridge philos. Soc. 31, 433—454, 1935.

11 ) „complete" bei Birlchoff, „closed^' bei Ore, „continuous" bei v. Neumann. Enzyklop. d. math. Wissensch. I. 2. Aufl. Heft 5 8