11 Abelsche Gruppen.

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Alles vereinfacht sich, wenn G/E zyklisch ist, etwa vom Grad ^, und die Charakteristik des Grundkörpers nicht m^ aufgeht. Dann istG'/^ falls zyklisch, und Г ist eine gewöhnliche Darstellung vom Grad 1: Z = 1. Aji zerfällt also in lauter inäquivalente Darstellungen, und ihre Anzahl m ist (als Index von G' in G) Teiler von k. Assoziierte Darstellungen scheiden sich nur um einen Zahlenfaktor, der eine der irreduziblen stellungen von G/Я bildet; die Anzahl der inäquivalenten zu^ assoziierten ist also k/m.

Ist k eine Primzahl/?, so gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder ist G' = G, also m = 1 und/)/m =/>. Dann besitzt^(s)/? verschiedene te, Ajj^ aber ist irreduzibel und "selbstkonjugiert". Oder es ist G' =Я, also m -p und p/m = 1. Dann ist Л **selbstassoziiert", und-A^^^ zerfällt in diep konjugierten ли),... ,аШ, die inäquivalent sind. Dieses Resultat war ge bekannt una ist für p = 2 von Frobenms für die symmetrische und die ternierende Gruppe, von R.Brauer und Weyl für die volle und die che orthogonale Gruppe benutzt worden.

H . Bzegler 1^'^) konnte feststellen, daß das Resultat des vorigen zes im wesentlichen richtig bleibt, wenn man (falls für G und H, die ja nicht endlich zu sein brauchen, der Satz von Maschke nicht gilt) "irreduzi- ЬеГ* durch "unzerfällbar'' ersetzt.

Verallgemeinerungen und in gewissem Sinne Umkehrungen der Clifford- schen Resultate findet man bei Deskins HS), Resultate speziell für modula- re Darstellungen bei Osima ^^^' und Srinivasan 120)^ Verallgemeinerungen auch bei Ernest 121)^ Ernest gibt, für den Fall einer beliebigen pe, Abschätzungen für die Anzahl der verschiedenen irreduziblen teile einer von einer irreduziblen Darstellung von G subduzierten lung von H oder einer von einer irreduziblen Darstellung von Я vom Grad 1 induzierten Darstellung von G. Dabei wird vorausgesetzt, daß der körper algebraisch abgeschlossen ist und daß seme Charakteristik die penordnungen nicht teilt. Es seien hier auch die geometrisch-topologischen Untersuchui^en über Gruppen mit fixpunktfreien Darstellungen erwähnt, die Vincent ^22) angestellt hat.

11 . Abelsche Gruppen. Die absolut irreduziblen Darstellungen einer endlichen abelschen Gruppe G sind bei van der Waerden ^23) vollständig gegeben. Sie sind vom Grad 1 und stimmen mit ihren Charakteren überein. Diese Charaktere bilden bei der (gewöhnlichen) Multiplikation eine abelsche Gruppe, die zu G isomorph ist. Diesen bekannten Dualitätssatz ЪзА, Hasse -^24)

117 ) imveröffentlicht.

118 ) W.E. Deskins, Proc. Amer. Math. Soc. 9, 655-660 (1958).

119 ) M. Osima, Proc. Japan. Acad. 13, 121-124 (1937), Collect. Papers Fac. Sei. Osaka Univ. A. 5, Nr. 24, 1938. 40 pp.

120 ) В. Srinivasan, Proc. London Math. Soc. (3) 10, 497-513 (1960).

121 ) J.A. Ernest, Trans. Amer. Math. Soc. 99, 499-508 (1961), Proc. Amer. Math. Soc. 13, 567-570 (1962).

122 ) G. Vincent, Comment. Math. Helv. 20, 117-171 (1947).

123 ) loc. cit. 1).

124 ) H. Hasse, Math. Nachr. 3, 1-3 (1949).